Calcule os limites
lim x infty(5 x+25 x)^x+4

Passo 1

Vamos resolver o limite lim x infty(5 x+25 x)^x+4. Esse exercício está relacionado ao estudo de limites e funções exponenciais. Para solucioná-lo, vamos precisar entender como manipular expressões que se aproximam de 1 quando x tende ao infinito e aplicar propriedades dos logaritmos e exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a fração dentro do limite:
5x + 25x = 5x5x + 25x = 1 + 25x
Então, o limite fica:
limx infty (1 + 25x)^x+4

Passo 3

Perceba que, quando x fica muito grande, 25x se aproxima de 0. Isso significa que a expressão dentro do parênteses está se aproximando de 1. Temos então uma forma que se parece com (1 + an)^n, onde sabemos que limn infty (1 + an)^n = e^a, onde e é a base dos logaritmos naturais.

Passo 4

Aplicando essa propriedade ao nosso limite, identificamos que a = 25 e n = x. Além disso, o expoente é x + 4, mas quando x tende ao infinito, o “+4” se torna insignificante em comparação com x. Portanto, podemos aproximar:
(1 + 25x)^x+4 approx (1 + 25x)^x

Passo 5

Agora, aplicando a propriedade mencionada:
limx infty (1 + 25x)^x = e^25

Resposta

O limite é e^25.

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