Utilize o método da substituição para calcular as integrais indefinidas abaixo.
integral sec ^2(2 theta) d theta

Passo 1

Resumo do enunciado: a gente quer calcular a integral indefinida integral sec^2(2theta),dtheta. O conteúdo aqui é integração por substituição (versão da regra da cadeia invertida) e vamos precisar escolher uma substituição que simplifique a parte interna do sec^2.

Passo 2

Escolha da substituição: definimos u = 2theta. Assim, derivando em relação a theta temos du = 2,dtheta, de onde isolamos dtheta = tfracdu2.
Substituição na integral original:
integral sec^2(2theta),dtheta = integral sec^2(u)cdot du2 = 12 integral sec^2(u),du

Passo 3

Cálculo da antiderivada: sabemos que tfracddu[tan(u)] = sec^2(u), então
integral sec^2(u),du = tan(u) + C
Multiplicando pelo fator tfrac12 que ficou fora, obtemos tfrac12tan(u) + C.

Passo 4

Volta à variável original: substituindo u = 2theta de volta, a resposta fica
12tan(2theta) + C

Resposta

tfrac12tan(2theta) + C

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