Utilize o método de variação dos parâmetros para determinar a solução geral da equação diferencial:
y^prime prime-y^prime-2 y=e^3 x

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial $ y’’ - y’ - 2y = e^{3x} $ usando o método de variação dos parâmetros. Para isso, vamos precisar entender sobre equações diferenciais lineares de segunda ordem, encontrar a solução da equação homogênea associada e depois uma solução particular da equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é $ y’’ - y’ - 2y = 0 $. Para resolver isso, assumimos uma solução da forma $ y = e^{rx} $, onde $ r $ é um número que precisamos encontrar.

Passo 3

Substituindo $ y = e^{rx} $ na equação homogênea, temos:
y = e^rx
Podemos dividir todos os termos por $ e^{rx} $ (que nunca é zero), ficando com:
r^2 e^rx - r e^rx - 2 e^rx = 0

Passo 4

Agora, resolvemos a equação quadrática $ r^2 - r - 2 = 0 $. Usando a fórmula de Bhaskara:
r^2 - r - 2 = 0
Então, as raízes são:
r = 1 pm raiz1 + 82 = 1 pm 32

Passo 5

Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
yh = C1 e^2x + C2 e^-x
onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes arbitrárias.

Passo 6

Agora, vamos encontrar uma solução particular $ y_p $ da equação completa $ y’’ - y’ - 2y = e^{3x} $ usando o método de variação dos parâmetros. Primeiro, identificamos as soluções da homogênea $ y_1 = e^{2x} $ e $ y_2 = e^{-x} $.

Passo 7

Calculamos as derivadas das soluções homogêneas:
y1' = 2 e^2x, y1'' = 4 e^2x
y2' = -e^-x, y2'' = e^-x

Passo 8

Montamos a matriz para os coeficientes:
W = y1 & y2 y1' & y2' = e^2x & e^-x 2 e^2x & -e^-x = -e^x - 2 e^x = -3 e^x
Esse é o Wronskiano $ W $.

Passo 9

Calculamos $ W_1 $ e $ W_2 $:
W1
W2

Passo 10

As soluções para $ u_1 $ e $ u_2 $ são:
u1
u2

Passo 11

Agora, a solução particular é:
yp = u1 y1 + u2 y2 = 13 e^x cdot e^2x + (-112 e^4x) cdot e^-x = 13 e^3x - 112 e^3x = 14 e^3x

Passo 12

Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:
y = yh + yp = C1 e^2x + C2 e^-x + 14 e^3x

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y = C1 e^2x + C2 e^-x + 14 e^3x

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