Utilize o método de variação dos parâmetros para determinar a solução geral da equação diferencial:
Passo 1
Vamos resolver a equação diferencial $ y’’ - y’ - 2y = e^{3x} $ usando o método de variação dos parâmetros. Para isso, vamos precisar entender sobre equações diferenciais lineares de segunda ordem, encontrar a solução da equação homogênea associada e depois uma solução particular da equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é $ y’’ - y’ - 2y = 0 $. Para resolver isso, assumimos uma solução da forma $ y = e^{rx} $, onde $ r $ é um número que precisamos encontrar.
Passo 3
Substituindo $ y = e^{rx} $ na equação homogênea, temos:
Podemos dividir todos os termos por $ e^{rx} $ (que nunca é zero), ficando com:
Passo 4
Agora, resolvemos a equação quadrática $ r^2 - r - 2 = 0 $. Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as raízes são:
Passo 5
Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes arbitrárias.
Passo 6
Agora, vamos encontrar uma solução particular $ y_p $ da equação completa $ y’’ - y’ - 2y = e^{3x} $ usando o método de variação dos parâmetros. Primeiro, identificamos as soluções da homogênea $ y_1 = e^{2x} $ e $ y_2 = e^{-x} $.
Passo 7
Calculamos as derivadas das soluções homogêneas:
Passo 8
Montamos a matriz para os coeficientes:
Esse é o Wronskiano $ W $.
Passo 9
Calculamos $ W_1 $ e $ W_2 $:
Passo 10
As soluções para $ u_1 $ e $ u_2 $ são:
Passo 11
Agora, a solução particular é:
Passo 12
Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: