Utilize o método de variação dos parâmetros para determinar a solução geral das seguintes equações diferenciais:
12.20 \ddot{x}-6 \dot{x}+9 x=\frac{e^{3}}{t^{2}}
Passo 1
O enunciado pede: determinar a solução geral da equação diferencial
\ddot{x}-6\dot{x}+9x=\frac{e^{3}}{t^{2}}.
Informações dadas e objetivo claro:
É uma EDO linear de segunda ordem, coeficiente do termo de ordem mais alta igual a 1.
Termo não-homogêneo (lado direito) é \dfrac{e^{3}}{t^{2}}.
Foi solicitado usar o método de variação dos parâmetros para obter a solução geral x(t).
Passo 2
Primeiro encontramos a solução geral da equação homogênea associada:
\ddot{x}-6\dot{x}+9x=0.
A equação característica é
r^{2}-6r+9=0.
Calculando as raízes:
r=\frac{6\pm\sqrt{36-36}}{2}=3,
ou seja, temos raiz dupla r=3. Para raiz dupla a base de soluções homogêneas é
y_{1}(t)=e^{3t},\qquad y_{2}(t)=t e^{3t}.
Logo a solução homogênea é
x_{h}(t)=C_{1}e^{3t}+C_{2}t e^{3t},
onde C_{1},C_{2} são constantes arbitrárias.
Passo 3
Agora aplicamos variação dos parâmetros. Procuramos uma solução particular na forma
x_{p}(t)=u_{1}(t)y_{1}(t)+u_{2}(t)y_{2}(t),
onde u_{1},u_{2} são funções a determinar. Impomos as condições usuais
u_{1}'(t)y_{1}(t)+u_{2}'(t)y_{2}(t)=0
e
u_{1}'(t)y_{1}'(t)+u_{2}'(t)y_{2}'(t)=f(t),
onde f(t) é o lado direito da equação original. Aqui
f(t)=\frac{e^{3}}{t^{2}}.
Estas duas equações lineares para u_{1}' e u_{2}' têm solução expressa convenientemente em termos do Wronskiano
A integral \displaystyle\int \frac{e^{-3t}}{t}\,dt não tem primitiva elementar; usamos a função exponencial integral \operatorname{Ei}. Lembrando que \dfrac{d}{dz}\operatorname{Ei}(z)=\dfrac{e^{z}}{z}, obtemos
Para \displaystyle\int \frac{e^{-3t}}{t^{2}}\,dt fazemos uma integração por partes conveniente. Tomando v=e^{-3t} e dw=t^{-2}dt (logo w=-1/t e dv=-3e^{-3t}dt), obtemos