Utilize o método de variação dos parâmetros para determinar a solução geral das seguintes equações diferenciais:
12.20 \ddot{x}-6 \dot{x}+9 x=\frac{e^{3}}{t^{2}}

Passo 1

O enunciado pede: determinar a solução geral da equação diferencial
\ddot{x}-6\dot{x}+9x=\frac{e^{3}}{t^{2}}.
Informações dadas e objetivo claro:
  • É uma EDO linear de segunda ordem, coeficiente do termo de ordem mais alta igual a 1.
  • Termo não-homogêneo (lado direito) é \dfrac{e^{3}}{t^{2}}.
  • Foi solicitado usar o método de variação dos parâmetros para obter a solução geral x(t).

Passo 2

Primeiro encontramos a solução geral da equação homogênea associada:
\ddot{x}-6\dot{x}+9x=0.
A equação característica é
r^{2}-6r+9=0.
Calculando as raízes:
r=\frac{6\pm\sqrt{36-36}}{2}=3,
ou seja, temos raiz dupla r=3. Para raiz dupla a base de soluções homogêneas é
y_{1}(t)=e^{3t},\qquad y_{2}(t)=t e^{3t}.
Logo a solução homogênea é
x_{h}(t)=C_{1}e^{3t}+C_{2}t e^{3t},
onde C_{1},C_{2} são constantes arbitrárias.

Passo 3

Agora aplicamos variação dos parâmetros. Procuramos uma solução particular na forma
x_{p}(t)=u_{1}(t)y_{1}(t)+u_{2}(t)y_{2}(t),
onde u_{1},u_{2} são funções a determinar. Impomos as condições usuais
u_{1}'(t)y_{1}(t)+u_{2}'(t)y_{2}(t)=0
e
u_{1}'(t)y_{1}'(t)+u_{2}'(t)y_{2}'(t)=f(t),
onde f(t) é o lado direito da equação original. Aqui
f(t)=\frac{e^{3}}{t^{2}}.
Estas duas equações lineares para u_{1}' e u_{2}' têm solução expressa convenientemente em termos do Wronskiano
W(t)=\begin{vmatrix} y_{1} & y_{2} \\\ y_{1}' & y_{2}' \end{vmatrix}.
As fórmulas diretas (obtidas ao resolver o sistema) são
u_{1}'(t)=-\frac{f(t)\,y_{2}(t)}{W(t)},\qquad u_{2}'(t)=\frac{f(t)\,y_{1}(t)}{W(t)}.

Passo 4

Calculemos o Wronskiano e as derivadas necessárias:
y_{1}(t)=e^{3t},\qquad y_{1}'(t)=3e^{3t},
y_{2}(t)=t e^{3t},\qquad y_{2}'(t)=e^{3t}+3t e^{3t}=e^{3t}(1+3t).
Assim
W(t)=\begin{vmatrix} e^{3t} & t e^{3t} \\\\ 3e^{3t} & e^{3t}(1+3t) \end{vmatrix} = e^{3t}\cdot e^{3t}(1+3t) - 3e^{3t}\cdot t e^{3t} = e^{6t}\big((1+3t)-3t\big)=e^{6t}.

Passo 5

Usando as fórmulas para u_{1}' e u_{2}':
u_{1}'(t)=-\frac{f(t)y_{2}(t)}{W(t)} = -\frac{\dfrac{e^{3}}{t^{2}}\cdot t e^{3t}}{e^{6t}} = -\frac{e^{3}e^{3t}}{t\,e^{6t}} = -\frac{e^{3-3t}}{t},
u_{2}'(t)=\frac{f(t)y_{1}(t)}{W(t)} = \frac{\dfrac{e^{3}}{t^{2}}\cdot e^{3t}}{e^{6t}} = \frac{e^{3-3t}}{t^{2}}.

Passo 6

Integramos u_{1}' e u_{2}'.
Para u_{1}:
u_{1}(t)=-\int \frac{e^{3-3t}}{t}\,dt = -e^{3}\int \frac{e^{-3t}}{t}\,dt.
A integral \displaystyle\int \frac{e^{-3t}}{t}\,dt não tem primitiva elementar; usamos a função exponencial integral \operatorname{Ei}. Lembrando que \dfrac{d}{dz}\operatorname{Ei}(z)=\dfrac{e^{z}}{z}, obtemos
\int \frac{e^{-3t}}{t}\,dt=\operatorname{Ei}(-3t)+\text{const}.
Escolhendo uma primitiva qualquer (constante será absorvida na solução homogênea), tomamos
u_{1}(t)=-e^{3}\,\operatorname{Ei}(-3t).
Para u_{2}:
calculemos diretamente
u_{2}(t)=\int \frac{e^{3-3t}}{t^{2}}\,dt = e^{3}\int \frac{e^{-3t}}{t^{2}}\,dt.
Para \displaystyle\int \frac{e^{-3t}}{t^{2}}\,dt fazemos uma integração por partes conveniente. Tomando v=e^{-3t} e dw=t^{-2}dt (logo w=-1/t e dv=-3e^{-3t}dt), obtemos
\int \frac{e^{-3t}}{t^{2}}\,dt = -\frac{e^{-3t}}{t} -3\int \frac{e^{-3t}}{t}\,dt.
Substituindo a primitiva conhecida da segunda integral:
\int \frac{e^{-3t}}{t^{2}}\,dt = -\frac{e^{-3t}}{t} -3\operatorname{Ei}(-3t).
Portanto, escolhendo constante zero,
u_{2}(t)=e^{3}\!\left(-\frac{e^{-3t}}{t}-3\operatorname{Ei}(-3t)\right) = -\frac{e^{3-3t}}{t}-3e^{3}\operatorname{Ei}(-3t).

Passo 7

Agora montamos a solução particular x_{p}=u_{1}y_{1}+u_{2}y_{2}. Substituindo:
u_{1}y_{1} = \big(-e^{3}\operatorname{Ei}(-3t)\big)\cdot e^{3t} = -e^{3+3t}\operatorname{Ei}(-3t),
u_{2}y_{2} = \Big(-\frac{e^{3-3t}}{t}-3e^{3}\operatorname{Ei}(-3t)\Big)\cdot t e^{3t} = -e^{3} -3e^{3}t e^{3t}\operatorname{Ei}(-3t).
Somando:
x_{p}(t) = -e^{3+3t}\operatorname{Ei}(-3t) -3e^{3}t e^{3t}\operatorname{Ei}(-3t) - e^{3}.
Agrupando os termos com \operatorname{Ei}:
x_{p}(t) = -e^{3}e^{3t}(1+3t)\operatorname{Ei}(-3t) - e^{3}.

Passo 8

A solução geral é a soma da homogênea com a particular:
x(t)=x_{h}(t)+x_{p}(t) = C_{1}e^{3t}+C_{2}t e^{3t} - e^{3}\big(e^{3t}(1+3t)\operatorname{Ei}(-3t)+1\big).
Observações didáticas rápidas:
  • A integral \int e^{-3t}/t\,dt é expressa pela função \operatorname{Ei}(-3t); em provas é aceitável deixar a solução em termos de \operatorname{Ei}.
  • Não se deve tentar forçar uma primitiva elementar quando aparece \int e^{\alpha t}/t\,dt: normalmente leva a exponencial integral.
  • Em tempo de prova, lembre-se do truque da integração por partes usado para \int e^{-3t}/t^{2}\,dt.

Resposta

x(t)=C_{1}e^{3t}+C_{2}t e^{3t}-e^{3}\big(e^{3t}(1+3t)\operatorname{Ei}(-3t)+1\big).

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