Utilize o métodos dos multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo da função sujeito à restrição dada:
f(x, y)=4-2 x-3 y ; x^2+y^2=1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar os valores máximos e mínimos da função com a restrição . Isso significa que estamos trabalhando com otimização com restrição, e para resolver isso usamos o método dos multiplicadores de Lagrange. Precisamos usar derivadas parciais e resolver um sistema de equações para encontrar esses valores.

Passo 2

Primeiro, vamos montar o Lagrangeano, que é uma combinação da função que queremos otimizar com a restrição, multiplicada por um multiplicador que chamamos de L(x, y, lambda) = f(x, y) + lambda (g(x, y)) . A fórmula fica assim:
L(x, y, lambda) = 4 - 2x - 3y + lambda (x^2 + y^2 - 1)
Onde é a nossa restrição. Substituindo, temos:

Passo 3

Agora, vamos encontrar as derivadas parciais do Lagrangeano em relação a partial Lpartial x = -2 + 2lambda x = 0 Rightarrow -2 + 2lambda x = 0 , partial Lpartial y = -3 + 2lambda y = 0 Rightarrow -3 + 2lambda y = 0 e partial Lpartial lambda = x^2 + y^2 - 1 = 0 , e igualar a zero. Isso nos dá um sistema de equações para resolver.
  1. Derivada em relação a :
  1. Derivada em relação a :
  1. Derivada em relação a :

Passo 4

Vamos resolver o sistema de equações:
  1. Da primeira equação:
-2 + 2lambda x = 0 Rightarrow lambda x = 1 Rightarrow lambda = 1x
  1. Da segunda equação:
-3 + 2lambda y = 0 Rightarrow lambda y = 32 Rightarrow lambda = 32y
Igualando as duas expressões para 1x = 32y Rightarrow 2y = 3x Rightarrow y = 32x :
x^2 + (32x)^2 = 1 Rightarrow x^2 + 94x^2 = 1 Rightarrow 134x^2 = 1 Rightarrow x^2 = 413 Rightarrow x = pm 2raiz13
  1. Substituindo y = 32 ( pm 2raiz13 ) = pm 3raiz13 na restrição :
Então, os valores de são:

Resposta

Os valores máximos e mínimos da função são:
Para f(2raiz13, 3raiz13) = 4 - 2(2raiz13) - 3(3raiz13) = 4 - 4raiz13 - 9raiz13 = 4 - 13raiz13 = 4 - raiz13 e f(-2raiz13, -3raiz13) = 4 - 2(-2raiz13) - 3(-3raiz13) = 4 + 4raiz13 + 9raiz13 = 4 + 13raiz13 = 4 + raiz13 :
Para e :
Portanto, o valor mínimo é e o valor máximo é .

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