Utilize o métodos dos multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo da função sujeito à restrição dada:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar os valores máximos e mínimos da função
com a restrição
. Isso significa que estamos trabalhando com otimização com restrição, e para resolver isso usamos o método dos multiplicadores de Lagrange. Precisamos usar derivadas parciais e resolver um sistema de equações para encontrar esses valores.
Passo 2
Primeiro, vamos montar o Lagrangeano, que é uma combinação da função que queremos otimizar com a restrição, multiplicada por um multiplicador que chamamos de
. A fórmula fica assim:
Onde
é a nossa restrição. Substituindo, temos:
Passo 3
Agora, vamos encontrar as derivadas parciais do Lagrangeano em relação a
,
e
, e igualar a zero. Isso nos dá um sistema de equações para resolver.
- Derivada em relação a
:
- Derivada em relação a
:
- Derivada em relação a
:
Passo 4
Vamos resolver o sistema de equações:
- Da primeira equação:
- Da segunda equação:
Igualando as duas expressões para
:
- Substituindo
na restrição :
Então, os valores de
são:
Resposta
Os valores máximos e mínimos da função são:
Para
e
:
Para
e
:
Portanto, o valor mínimo é
e o valor máximo é
.