Utilize o métodos dos multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo da função sujeito à restrição dada:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar os valores máximo e mínimo da função
com a condição de que
. Isso tá relacionado com a matéria de otimização usando multiplicadores de Lagrange, que ajuda a encontrar extremos de uma função sujeita a uma restrição.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são multiplicadores de Lagrange. É uma técnica que usa uma nova variável, chamada de multiplicador (geralmente
), para incorporar a restrição na função que queremos otimizar. A ideia é que os extremos da função ocorram quando o gradiente da função é paralelo ao gradiente da restrição.
Passo 3
Vamos montar o sistema de equações. Precisamos igualar o gradiente de
ao gradiente da restrição multiplicado pelo
. Ou seja:
Onde
.
Passo 4
Calculando os gradientes:
Então, a equação fica:
Passo 5
Isso nos dá duas equações:
E também temos a restrição:
Passo 6
Vamos resolver as equações 1 e 2 para
:
Da equação 1:
Da equação 2:
Igualando as duas expressões para
:
Passo 7
Agora que sabemos que
, vamos substituir isso na restrição
:
Passo 8
Com os valores de
, encontramos
:
Para
:
Para
:
Passo 9
Agora, vamos calcular os valores de
nesses pontos:
Para
:
Para
:
Resposta
O valor máximo de
é
e o valor mínimo é
.