Utilize o métodos dos multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo da função sujeito à restrição dada:
f(x, y)=2 x+y ; x^2+y^2=4

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar os valores máximo e mínimo da função com a condição de que . Isso tá relacionado com a matéria de otimização usando multiplicadores de Lagrange, que ajuda a encontrar extremos de uma função sujeita a uma restrição.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são multiplicadores de Lagrange. É uma técnica que usa uma nova variável, chamada de multiplicador (geralmente ), para incorporar a restrição na função que queremos otimizar. A ideia é que os extremos da função ocorram quando o gradiente da função é paralelo ao gradiente da restrição.

Passo 3

Vamos montar o sistema de equações. Precisamos igualar o gradiente de nabla f = lambda nabla g ao gradiente da restrição multiplicado pelo . Ou seja:
Onde .

Passo 4

Calculando os gradientes:
nabla f = ( partial fpartial x, partial fpartial y ) = (2, 1)
nabla g = ( partial gpartial x, partial gpartial y ) = (2x, 2y)
Então, a equação fica:
(2, 1) = lambda (2x, 2y)

Passo 5

Isso nos dá duas equações:
E também temos a restrição:

Passo 6

Vamos resolver as equações 1 e 2 para lambda = 22x = 1x :
Da equação 1:
lambda = 12y
Da equação 2:
1x = 12y implies 2y = x
Igualando as duas expressões para :

Passo 7

Agora que sabemos que (2y)^2 + y^2 = 4 implies 4y^2 + y^2 = 4 implies 5y^2 = 4 implies y^2 = 45 implies y = pm 2raiz5 , vamos substituir isso na restrição :

Passo 8

Com os valores de x = 2y = 2 times 2raiz5 = 4raiz5 , encontramos x = 2y = 2 times (-2raiz5) = -4raiz5 :
Para :
Para :

Passo 9

Agora, vamos calcular os valores de f( 4raiz5, 2raiz5 ) = 2 times 4raiz5 + 2raiz5 = 8raiz5 + 2raiz5 = 10raiz5 = 2raiz5 nesses pontos:
Para f( -4raiz5, -2raiz5 ) = 2 times (-4raiz5) + (-2raiz5) = -8raiz5 - 2raiz5 = -10raiz5 = -2raiz5 :
Para :

Resposta

O valor máximo de é e o valor mínimo é .

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