Exercício 13 Calcule \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_{0}^{x} e^{\cos ^{2}(t)} d t}{\sin (x)}

Passo 1

O enunciado pede o valor de
\lim_{x\to0}\frac{\displaystyle\int_{0}^{x}e^{\cos^{2}(t)}\,dt}{\sin(x)}.
Estamos diante de uma forma indeterminada 0/0 e vamos usar a Regra de L’Hôpital junto com o Teorema Fundamental do Cálculo para resolver.

Passo 2

Verificamos o tipo de indeterminação:
– Numerador: \displaystyle\int_{0}^{0}e^{\cos^{2}(t)}\,dt = 0.
– Denominador: \sin(0)=0.
Logo, temos 0/0 e podemos aplicar L’Hôpital.

Passo 3

Aplicando L’Hôpital, diferenciamos numerador e denominador em relação a x:
– Pelo Teorema Fundamental do Cálculo,
\frac{d}{dx}\biggl(\int_{0}^{x}e^{\cos^{2}(t)}\,dt\biggr) = e^{\cos^{2}(x)}.
– E
\frac{d}{dx}\bigl(\sin(x)\bigr)=\cos(x).
Assim,
\lim_{x\to0}\frac{\displaystyle\int_{0}^{x}e^{\cos^{2}(t)}\,dt}{\sin(x)} =\lim_{x\to0}\frac{e^{\cos^{2}(x)}}{\cos(x)}.

Passo 4

Basta agora avaliar a função no ponto x=0 por continuidade:
e^{\cos^{2}(0)}=e^{1}=e, \quad \cos(0)=1.
Portanto,
\lim_{x\to0}\frac{e^{\cos^{2}(x)}}{\cos(x)}=\frac{e}{1}=e.

Resposta

e

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