Utilize uma mudança de variáveis conveniente, x=x(u, v) e y=y(u, v), para calcular as integrais:
\iint_{D}(x-2 y) e^{(x+2 y)} d x d y sendo D a região limitada pelas retas x+2 y=0, x-2 y=0, com 0 \leq x \leq 2. Desenhe as regiões de integração em x y e em u v).

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\iint_{D}(x-2y)\,e^{(x+2y)}\,dx\,dy
onde D é a região limitada pelas retas x+2y=0, x-2y=0 e 0\le x\le2.
O conteúdo aqui é mudança de variáveis para simplificar a parte exponencial e facilitar a descrição de D. Vamos usar a transformação
u = x+2y, \quad v = x-2y.

Passo 2

Invertendo a transformação, escrevemos
x = \frac{u+v}{2}, \quad y = \frac{u-v}{4}.
O jacobiano dessa mudança é
J = \det\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} = \det \begin{pmatrix} \frac12 & \frac12 \\[6pt] \frac14 & -\frac14 \end{pmatrix} = -\frac14.
Para a integral tomamos \bigl|J\bigr|=\tfrac14, isto é dx\,dy = \tfrac14\,du\,dv.]

Passo 3

No plano xy, D é o triângulo cujos vértices são (0,0), (2,1) e (2,-1), pois para cada x\in[0,2] temos
x+2y\ge0\quad\text{e}\quad x-2y\ge0 \;\Longrightarrow\; -\tfrac x2\le y\le\tfrac x2.
Em coordenadas (u,v), essas retas viram u=0, v=0 e a reta x=2 fica
\frac{u+v}{2}=2 \;\Longrightarrow\;u+v=4.
Logo a região correspondente é o triângulo do primeiro quadrante com vértices (0,0), (4,0) e (0,4).

Passo 4

No integral, usamos
x-2y = v, \quad e^{(x+2y)} = e^u, \quad dx\,dy = \tfrac14\,du\,dv.
Assim
\iint_{D}(x-2y)\,e^{(x+2y)}\,dx\,dy = \frac14 \int_{u=0}^{4}\!\int_{v=0}^{4-u} v\,e^{u}\,dv\,du.

Passo 5

Primeiro integramos em v:
\int_{v=0}^{4-u}v\,dv = \frac{(4-u)^2}{2}.
A integral torna-se
\frac14 \int_{0}^{4} e^{u}\,\frac{(4-u)^2}{2}\,du = \frac{1}{8} \int_{0}^{4}(4-u)^2\,e^{u}\,du.
Fazendo t=4-u (então du=-dt, limites u=0\to t=4, u=4\to t=0) obtemos
\frac{1}{8}e^4 \int_{0}^{4} t^2 e^{-t}\,dt.
E sabe-se que
\int_{0}^{4}t^2e^{-t}\,dt = \bigl[-t^2e^{-t}-2te^{-t}-2e^{-t}\bigr]_{0}^{4} = 2 - 26e^{-4}.
Logo a integral vale
\frac{e^4}{8}\bigl(2 - 26e^{-4}\bigr) = \frac{2e^4}{8} - \frac{26}{8} = \frac{e^4 - 13}{4}.

Resposta

\boxed{\frac{e^4 - 13}{4}}.

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