Use a definição de derivadas parciais (como limites) para determinar f_{x}(1,2) e f_{y}(1,2), onde f(x, y)=x^{2} y-x^{3} y.

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de
f(x,y)=x^{2}y - x^{3}y
no ponto (1,2) usando a definição de derivada parcial como limite. Vamos precisar lembrar que
f_x(a,b)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h,b)-f(a,b)}{h},
f_y(a,b)=\lim_{k\to0}\frac{f(a,b+k)-f(a,b)}{k}.

Passo 2

Aplicando a definição de f_x(1,2), escrevemos
f_x(1,2)=\lim_{h\to0}\frac{f(1+h,2)-f(1,2)}{h}.
Calculamos primeiro
f(1+h,2)=(1+h)^{2}\cdot2 - (1+h)^{3}\cdot2 =2(1+2h+h^{2})-2(1+3h+3h^{2}+h^{3}) =-2h -4h^{2} -2h^{3}.
Como
f(1,2)=1^{2}\cdot2 -1^{3}\cdot2=0,
o numerador fica -2h-4h^{2}-2h^{3}.

Passo 3

Dividindo por h e tomando o limite, temos
\frac{f(1+h,2)-f(1,2)}{h} =\frac{-2h -4h^{2}-2h^{3}}{h} =-2 -4h -2h^{2} \quad\longrightarrow\quad -2 \;\;(h\to0).
Logo
f_x(1,2)=-2.

Passo 4

Para f_y(1,2) usamos
f_y(1,2)=\lim_{k\to0}\frac{f(1,2+k)-f(1,2)}{k}.
Calculamos
f(1,2+k) =1^{2}(2+k)-1^{3}(2+k) =(2+k)-(2+k)=0,
e já sabemos que f(1,2)=0. Então o quociente é
\frac{0-0}{k}=0
para todo k\neq0, e o limite é
f_y(1,2)=0.

Resposta

f_x(1,2)=-2 f_y(1,2)=0

Exercícios relacionados