Utilize a mudança de variáveis para coordenadas polares para calcular as integrais:
d) \int_{D} x d x d y, sendo D o disco de raio 4 centrado no ponto (-1,-1). [-16 \pi]

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de \displaystyle x sobre o disco D de raio 4 centrado em (-1,-1). O conteúdo aqui é mudança de variáveis: primeiro vamos transladar o centro do disco para a origem e depois usar coordenadas polares.

Passo 2

Fazemos a translação
u = x + 1,\quad v = y + 1,
de modo que D em (x,y) vira o disco \{(u,v)\mid u^2+v^2\le 16\} em (u,v). Além disso
x = u - 1,
e o elemento de área é invariante, ou seja dx\,dy = du\,dv. Logo
\iint_{D} x\,dx\,dy = \iint_{u^2+v^2\le16} (u-1)\,du\,dv.

Passo 3

Separamos a integral em duas partes:
\iint_{u^2+v^2\le16} u\,du\,dv \;-\; \iint_{u^2+v^2\le16} 1\,du\,dv.
Pelo simetria do disco, \displaystyle\iint_{u^2+v^2\le16} u\,du\,dv = 0. Resta
- \iint_{u^2+v^2\le16} 1\,du\,dv = -\bigl(\text{área do disco de raio }4\bigr) = -\pi\cdot 4^2 = -16\pi.á

Resposta

-16\pi

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