Utilize a mudança de variáveis para coordenadas polares para calcular as integrais:
g) \int_{0}^{2} \int_{0}^{\sqrt{2 x-x^{2}}}(x-y) d y d x (classe)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\int_{0}^{2} \int_{0}^{\sqrt{2x - x^{2}}} (x - y)\,dy\,dx
usando mudança para coordenadas polares. Vamos identificar a região de integração e depois reescrever x, y e o elemento de área dA em termos de (r,\theta).

Passo 2

A curva y = \sqrt{2x - x^{2}} pode ser escrita como
x^{2} - 2x + y^{2} = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad r^{2} - 2r\cos\theta = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad r = 2\cos\theta.
Como y\ge0, temos \theta\in[0,\tfrac{\pi}{2}] e r\ge0. A região é, portanto,
0 \le \theta \le \tfrac{\pi}{2}, \quad 0 \le r \le 2\cos\theta.

Passo 3

Fazendo a mudança de variáveis
x = r\cos\theta, \quad y = r\sin\theta, \quad dA = r\,dr\,d\theta,
o integrando x - y vira r\cos\theta - r\sin\theta. Logo a integral se torna
\int_{\theta=0}^{\pi/2}\int_{r=0}^{2\cos\theta} \bigl(r\cos\theta - r\sin\theta\bigr)\,r\,dr\,d\theta = \int_{0}^{\pi/2}\int_{0}^{2\cos\theta} (r^{2}(\cos\theta - \sin\theta))\,dr\,d\theta.

Passo 4

Calculamos primeiro a integral em r:
\int_{0}^{2\cos\theta} r^{2}(\cos\theta - \sin\theta)\,dr =(\cos\theta - \sin\theta)\,\int_{0}^{2\cos\theta} r^{2}\,dr =(\cos\theta - \sin\theta)\,\frac{(2\cos\theta)^{3}}{3} =\frac{8}{3}(\cos\theta - \sin\theta)\cos^{3}\theta.

Passo 5

A integral em \theta fica
\frac{8}{3}\int_{0}^{\pi/2}\bigl(\cos^{4}\theta - \cos^{3}\theta\sin\theta\bigr)\,d\theta.
Sabemos que
\int_{0}^{\pi/2}\cos^{4}\theta\,d\theta=\frac{3\pi}{16}, \quad \int_{0}^{\pi/2}\cos^{3}\theta\sin\theta\,d\theta =\left.-\frac{\cos^{4}\theta}{4}\right|_{0}^{\pi/2}=\frac{1}{4}.

Passo 6

Substituindo,
\frac{8}{3}\Bigl(\frac{3\pi}{16}-\frac{1}{4}\Bigr) =\frac{8}{3}\,\frac{3\pi - 4}{16} =\frac{3\pi - 4}{6}.

Resposta

\frac{3\pi - 4}{6}

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