Utilize a mudança de variáveis para coordenadas polares para calcular as integrais:
f) \int_{0}^{2} \int_{0}^{\sqrt{2 x-x^{2}}} \sqrt{4-x^{2}-y^{2}} d y d x
[2/3]

Passo 1

O enunciado pede
\int_{0}^{2}\int_{0}^{\sqrt{2x - x^{2}}}\sqrt{4 - x^{2} - y^{2}}\;dy\,dx
e sugere usar coordenadas polares. O conteúdo é mudança de variáveis em integrais duplas. Vamos precisar de
  1. x = r\cos\theta,\;y = r\sin\theta,
  2. dA = r\,dr\,d\theta,
  3. descrição da região em (r,\theta).

Passo 2

Em retângulo cartesiano a região D é
0 \le x \le 2,\quad 0 \le y \le \sqrt{2x - x^{2}},
isto é (x-1)^{2} + y^{2}\le1 com y\ge0. Em polares (x-1)^{2}+y^{2}\le1 vira
r^{2}-2r\cos\theta+1\le1\;\Longrightarrow\;r\le2\cos\theta,
e y\ge0 \theta\in[0,\pi/2]. Logo
D=\{(r,\theta):0\le r\le2\cos\theta,\;0\le\theta\le\pi/2\}.

Passo 3

Substituindo na integral:
\sqrt{4 - x^{2} - y^{2}} = \sqrt{4 - r^{2}}, \qquad dA = r\,dr\,d\theta.
Fica
\int_{0}^{\pi/2}\!\int_{0}^{2\cos\theta} \sqrt{4 - r^{2}}\;r\,dr\,d\theta.

Passo 4

Calculemos
I(\theta)=\int_{0}^{2\cos\theta} \sqrt{4 - r^{2}}\;r\,dr.
Use u=4-r^{2}, du=-2r\,dr. Quando r=0, u=4; quando r=2\cos\theta, u=4\sin^{2}\theta. Então
I(\theta) =\int_{u=4}^{4\sin^{2}\theta}\sqrt{u}\,\bigl(-\tfrac{du}{2}\bigr) =\frac12\int_{4\sin^{2}\theta}^{4}u^{1/2}du =\frac13\Bigl[\,u^{3/2}\Bigr]_{4\sin^{2}\theta}^{4} =\frac{8}{3}\bigl(1-\sin^{3}\theta\bigr).

Passo 5

Agora
\int_{0}^{\pi/2}I(\theta)\,d\theta =\frac{8}{3}\int_{0}^{\pi/2}\bigl(1-\sin^{3}\theta\bigr)d\theta =\frac{8}{3}\Bigl[\tfrac{\pi}{2}-\int_{0}^{\pi/2}\sin^{3}\theta\,d\theta\Bigr].
Sabe-se que \displaystyle\int_{0}^{\pi/2}\sin^{3}\theta\,d\theta=\tfrac{2}{3}. Logo
\frac{8}{3}\Bigl(\frac{\pi}{2}-\frac{2}{3}\Bigr) =\frac{8}{3}\cdot\frac{\pi}{2}-\frac{8}{3}\cdot\frac{2}{3} =\frac{4\pi}{3}-\frac{16}{9} =\frac{12\pi-16}{9}.

Resposta

\frac{12\pi-16}{9}.

Exercícios relacionados