Utilize a mudança de variáveis para coordenadas polares para calcular as integrais:
h) \int_{D} \sqrt{x^{2}+y^{2}} d x d y sendo D o interior do disco x^{2}+y^{2}-4 y=0.

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral dupla
\iint_{D}\sqrt{x^{2}+y^{2}}\;\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y
onde D é o disco interior à curva x^{2}+y^{2}-4y=0. O método indicado é a mudança para coordenadas polares, usando
x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta,\quad \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y=r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta.

Passo 2

Em coordenadas polares a equação do disco fica
r^{2}-4r\sin\theta=0 \quad\Longrightarrow\quad r=4\sin\theta.
Como r\ge0, precisamos de \sin\theta\ge0, ou seja \theta\in[0,\pi]. Portanto os limites são
0\le\theta\le\pi, \quad 0\le r\le 4\sin\theta.

Passo 3

No integrando temos \sqrt{x^{2}+y^{2}}=r e o elemento de área é r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta. Assim a integral se torna
\int_{0}^{\pi}\!\int_{0}^{4\sin\theta} r\cdot r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta =\int_{0}^{\pi}\!\int_{0}^{4\sin\theta}r^{2}\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta.

Passo 4

Calculemos primeiro a integral interna em r:
\int_{0}^{4\sin\theta}r^{2}\,\mathrm{d}r =\left[\frac{r^{3}}{3}\right]_{0}^{4\sin\theta} =\frac{(4\sin\theta)^{3}}{3} =\frac{64}{3}\,\sin^{3}\theta.
Logo a integral reduz-se a
\int_{0}^{\pi}\frac{64}{3}\,\sin^{3}\theta\,\mathrm{d}\theta.

Passo 5

Para \displaystyle \int_{0}^{\pi}\sin^{3}\theta\,\mathrm{d}\theta usamos \sin^{3}\theta=\sin\theta(1-\cos^{2}\theta). Então
\int_{0}^{\pi}\sin^{3}\theta\,\mathrm{d}\theta =\int_{0}^{\pi}\sin\theta\,\mathrm{d}\theta -\int_{0}^{\pi}\sin\theta\cos^{2}\theta\,\mathrm{d}\theta.
Calculamos separadamente
\int_{0}^{\pi}\sin\theta\,\mathrm{d}\theta=2,
e com u=\cos\theta, \mathrm{d}u=-\sin\theta\,\mathrm{d}\theta,
\int_{0}^{\pi}\sin\theta\cos^{2}\theta\,\mathrm{d}\theta =-\int_{1}^{-1}u^{2}\,\mathrm{d}u =\int_{-1}^{1}u^{2}\,\mathrm{d}u =\left[\frac{u^{3}}{3}\right]_{-1}^{1} =\frac{2}{3}.
Logo
\int_{0}^{\pi}\sin^{3}\theta\,\mathrm{d}\theta =2-\frac{2}{3} =\frac{4}{3}.

Passo 6

Substituindo de volta, obtemos
\iint_{D}\sqrt{x^{2}+y^{2}}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y =\frac{64}{3}\,\times\frac{4}{3} =\frac{256}{9}.

Resposta

\displaystyle \frac{256}{9}

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