Utilize a mudança de variáveis para coordenadas polares para calcular as integrais:
i) \iint_{R} 1 d x d y, sendo R a região limitada por (x-1)^{2}+y^{2}=1 e y \geq x. (classe)

Passo 1

O enunciado pede a área da região R dada por
(x-1)^{2}+y^{2}=1
com a restrição y\ge x. Como queremos
\iint_{R}1\,dx\,dy,
faz sentido usar coordenadas polares (r,\theta), onde
x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta,
e o elemento de área fica dx\,dy=r\,dr\,d\theta.

Passo 2

Vamos converter a circunferência em polares. Substituindo
(x-1)^{2}+y^{2}=1
por x=r\cos\theta e y=r\sin\theta, obtemos
(r\cos\theta-1)^{2}+(r\sin\theta)^{2}=1 \;\Longrightarrow\; r^{2}-2r\cos\theta+1=1 \;\Longrightarrow\; r\,(r-2\cos\theta)=0.
Desprezamos r=0 e ficamos com
r=2\cos\theta,
válido quando \cos\theta\ge0, ou seja \theta\in[-\tfrac\pi2,\tfrac\pi2].

Passo 3

A condição y\ge x vira em polares
r\sin\theta\ge r\cos\theta \;\Longrightarrow\; \sin\theta\ge\cos\theta \;\Longrightarrow\; \tan\theta\ge1 \;\Longrightarrow\; \theta\in\bigl[\tfrac\pi4,\tfrac\pi2\bigr].

Passo 4

O domínio R em polares é
0\le r\le 2\cos\theta, \quad \tfrac\pi4\le\theta\le\tfrac\pi2.
Montamos a integral
\iint_{R}1\,dx\,dy =\int_{\theta=\pi/4}^{\pi/2}\int_{r=0}^{2\cos\theta}r\,dr\,d\theta.

Passo 5

Integramos primeiro em r:
\int_{0}^{2\cos\theta}r\,dr =\left[\frac{r^{2}}{2}\right]_{0}^{2\cos\theta} =\frac{(2\cos\theta)^{2}}{2} =2\cos^{2}\theta.
Então a integral fica
\int_{\pi/4}^{\pi/2}2\cos^{2}\theta\,d\theta.

Passo 6

Usamos \cos^{2}\theta=(1+\cos2\theta)/2, então
2\cos^{2}\theta=1+\cos2\theta
e
\int_{\pi/4}^{\pi/2}(1+\cos2\theta)\,d\theta =\Bigl[\theta+\tfrac12\sin2\theta\Bigr]_{\pi/4}^{\pi/2} =\Bigl(\tfrac\pi2+0\Bigr)-\Bigl(\tfrac\pi4+\tfrac12\cdot1\Bigr) =\frac\pi4-\frac12.

Resposta

\iint_{R}1\,dx\,dy =\frac\pi4-\frac12.

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