Utilize mudança de variáveis para determinar as seguintes integrais:
c) integral e^ve^v+1 d v

Passo 1

Vamos entender o que o exercício pede. Precisamos calcular a integral integral e^ve^v+1 , dv usando a técnica de mudança de variável. Isso faz parte da matéria de cálculo integral, especificamente envolvendo integrais de funções exponenciais e substituição para simplificar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma substituição que torne a integral mais simples. Observando o denominador e^v + 1, percebemos que a parte e^v também aparece no numerador. Isso sugere que podemos fazer uma substituição relacionada a essa expressão.
Vamos definir:
u = e^v + 1

Passo 3

Agora, precisamos calcular a derivada de u em relação a v para encontrar du:
dudv = e^v
Isso significa que:
du = e^v , dv

Passo 4

Substituindo u e du na integral original:
integral e^ve^v+1 , dv = integral duu

Passo 5

A integral integral duu é uma forma padrão, cuja antiderivada é o logaritmo natural:
integral 1u , du = ln|u| + C
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Por fim, substituímos u de volta para expressar a resposta em termos de v:
ln|e^v + 1| + C
Como e^v + 1 é sempre positivo, podemos simplificar para:
ln(e^v + 1) + C

Resposta

A integral é igual a:
ln(e^v + 1) + C

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