Utilize mudança de variáveis para determinar as seguintes integrais:
c)
c)
Passo 1
Vamos entender o que o exercício pede. Precisamos calcular a integral
usando a técnica de mudança de variável. Isso faz parte da matéria de cálculo integral, especificamente envolvendo integrais de funções exponenciais e substituição para simplificar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar uma substituição que torne a integral mais simples. Observando o denominador
, percebemos que a parte
também aparece no numerador. Isso sugere que podemos fazer uma substituição relacionada a essa expressão.
Vamos definir:
Passo 3
Agora, precisamos calcular a derivada de
em relação a
para encontrar
:
Isso significa que:
Passo 4
Substituindo
e
na integral original:
Passo 5
A integral
é uma forma padrão, cuja antiderivada é o logaritmo natural:
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Por fim, substituímos
de volta para expressar a resposta em termos de
:
Como
é sempre positivo, podemos simplificar para:
Resposta
A integral é igual a: