Utilize mudança de variáveis para determinar as seguintes integrais:
d) integral y^2raiz1-y d y

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral integral y^2raiz1-y , dy usando uma mudança de variáveis. Isso envolve álgebra e cálculo, especificamente técnicas de integração por substituição.

Passo 2

Vamos escolher uma substituição que simplifique a integral. Olhando para a expressão raiz1 - y, uma boa ideia é definir u = 1 - y. Isso facilita a manipulação da raiz quadrada.

Passo 3

Com u = 1 - y, derivamos ambos os lados em relação a y para encontrar du/dy:
dudy = -1 implies dy = -du

Passo 4

Agora, substituímos u e dy na integral original:
integral y^2raiz1 - y , dy = integral (1 - u)^2raizu cdot (-du)
Simplificando:
- integral (1 - 2u + u^2)raizu , du

Passo 5

Vamos distribuir o denominador raizu para simplificar a expressão:
- integral ( 1raizu - 2raizu + u^32 ) , du

Passo 6

Agora, integramos cada termo separadamente:
- ( 2u^12 - 43u^32 + 25u^52 ) + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 7

Finalmente, substituímos u = 1 - y de volta na expressão:
- ( 2raiz1 - y - 43(1 - y)^32 + 25(1 - y)^52 ) + C
Podemos simplificar a expressão final:

Resposta

-2raiz1 - y + 43(1 - y)^32 - 25(1 - y)^52 + C

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