Utilize a regra da cadeia para encontrar a derivada das seguintes funções:
h) g(t)=raizt+raizt

Passo 1

Nessa questão, a gente precisa encontrar a derivada de g(t)=raizt+raizt. O conteúdo principal é a regra da cadeia para funções compostas, e também a derivada da raiz quadrada, que é tfrac12raizx.

Passo 2

Para usar a regra da cadeia, identificamos duas funções: a interna u(t)=t+raizt e a externa f(u)=raizu. A regra diz que g'(t)=f'(u(t))cdot u'(t).

Passo 3

Vamos calcular u'(t). Como u(t)=t+raizt, temos
ddtl(tr)=1
e
ddtl(raiztr)=12raizt
Portanto,
$$
u’(t)=1+\frac{1}{2\sqrt{t}}. u'(t)=1+12raizt
f’(u)=\frac{1}{2\sqrt{u}}. f(u)=raizu
g’(t)=f’(u(t))\cdot u’(t)=\frac{1}{2\sqrt{t+\sqrt{t}}}\left(1+\frac{1}{2\sqrt{t}}\right).
$$

Passo 4

Para simplificar, colocamos 1+tfrac12raizt num único quociente. Com denominador comum 2raizt, fica:
1+12raizt=2raizt+12raizt
Substituindo em g'(t), temos
g'(t)=2raizt+12raiztcdot12raizt+raizt =2raizt+14raizt,raizt+raizt

Resposta

g'(t)=dfrac2raizt+14raizt,raizt+raizt

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