Utilize mudança de variáveis para determinar as seguintes integrais:
a) integral x^2(x^3+2)^9 d x

Passo 1

Então, temos que calcular a integral integral x^2(x^3+2)^9 ,dx. Vamos usar a técnica de mudança de variáveis (também conhecida como substituição) para resolver isso. Precisamos identificar qual parte da expressão escolher como variável substituta para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma parte da expressão x^3 + 2 para ser nossa nova variável, que chamaremos de u. Então, fazemos:
u = x^3 + 2

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de u em relação a x para substituir o dx. Calculando a derivada:
dudx = 3x^2
Portanto,
du = 3x^2 dx

Passo 4

Vamos isolar x^2 dx na expressão de du:
x^2 dx = du3

Passo 5

Substituindo u e x^2 dx na integral original:
integral x^2(x^3+2)^9 dx = integral (u)^9 cdot du3

Passo 6

Simplificando a integral:
13 integral u^9 du

Passo 7

Agora, integramos u^9 em relação a u:
13 cdot u^1010 + C = u^1030 + C

Passo 8

Finalmente, substituímos u de volta para x^3 + 2:
(x^3 + 2)^1030 + C

Resposta

A integral é igual a (x^3 + 2)^1030 + C.

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