Utilize os multiplicadores de Lagrange para dar uma solução alternativa aos exercícios da seção anterior.
(g) Se o comprimento da diagonal de uma caixa retangular deve ser
, qual é o maior volume possível?
(g) Se o comprimento da diagonal de uma caixa retangular deve ser
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. A gente tem uma caixa retangular e sabe que a diagonal dela tem comprimento
. A missão aqui é descobrir qual é o maior volume que essa caixa pode ter usando os multiplicadores de Lagrange. A matéria envolvida é otimização com restrições, e vamos precisar entender como aplicar os multiplicadores de Lagrange para encontrar o valor máximo do volume dado a restrição da diagonal.
Passo 2
Primeiro, vamos definir o que queremos maximizar e qual é a restrição. O volume da caixa retangular é dado por:
onde
,
e
são as dimensões da caixa.
A restrição é que a diagonal da caixa tem comprimento
. A diagonal de uma caixa retangular pode ser calculada usando o teorema de Pitágoras no espaço tridimensional:
Como
, temos:
Passo 3
Agora, vamos aplicar os multiplicadores de Lagrange. Essa técnica ajuda a encontrar os extremos (máximos ou mínimos) de uma função sujeita a uma restrição. A ideia é combinar a função que queremos otimizar com a restrição usando um multiplicador, que geralmente chamamos de
.
Formulamos a função de Lagrange:
Substituindo
:
Passo 4
Para encontrar os pontos críticos, derivamos a função de Lagrange em relação a
,
,
e
, e igualamos a zero.
As derivadas parciais ficam:
Passo 5
Vamos resolver essas equações. Observando as três primeiras equações:
Dividindo a primeira equação pela segunda:
Do mesmo modo, podemos mostrar que
. Então, as três dimensões são iguais:
.
Passo 6
Com
, substituímos na restrição:
Portanto, todas as dimensões são iguais a
.
Resposta
O maior volume possível da caixa é: