Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os alores máximo e mínimo da função sujeita à(s) restrição(ões) dada(s).
f(x, y)=x^3+y^3-3 x-3 y ; x+2 y=3.

Passo 1

Temos a função f(x,y)=x^3+y^3-3x-3y sujeita à restrição x+2y=3. O conteúdo aqui é o método dos multiplicadores de Lagrange, em que vamos montar uma função Lagrangiana e impor que seu gradiente seja zero.

Passo 2

Definimos a Lagrangiana como
L(x,y,lambda)=x^3+y^3-3x-3y - lambda,(x+2y-3) As condições de extremum exigem as equações:
partialLpartial x=0, partialLpartial y=0, partialLpartial lambda=0

Passo 3

Calculando as derivadas parciais, obtemos
partialLpartial x=3x^2-3-lambda=0 Rightarrow lambda=3x^2-3,
partialLpartial y=3y^2-3-2lambda=0 Rightarrow lambda=3y^2-32,
partialLpartial lambda=-(x+2y-3)=0 Rightarrow x+2y=3

Passo 4

Igualando as duas expressões de lambda, temos
3x^2-3=3y^2-32 Longrightarrow 2(3x^2-3)=3y^2-3
que leva a
6x^2-6=3y^2-3 Longrightarrow y^2=2x^2-1

Passo 5

Da restrição x+2y=3 isolamos y=3-x2. Substituindo em y^2=2x^2-1
(3-x)^24=2x^2-1
que é equivalente a
7x^2+6x-13=0
Resolvendo esta quadrática, encontramos
x=1ou x=-137
Então
(x,y)=(1,1)oul(-tfrac137,tfrac177r)

Passo 6

Para decidir qual é máximo ou mínimo, avaliamos f em cada ponto:
f(1,1)=1+1-3-3=-4,
fl(-tfrac137,tfrac177r)=(-13)^3+17^37^3-3-13+177=2128343approx6,204
Comparando os valores, o menor é -4 e o maior é tfrac2128343.

Resposta

O valor mínimo de f é -4 em (1,1) e o valor máximo é tfrac2128343 em ( -tfrac137,,tfrac177).

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