Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os alores máximo e mínimo da função sujeita à(s) restrição(ões) dada(s).
.
Passo 1
Temos a função
sujeita à restrição
. O conteúdo aqui é o método dos multiplicadores de Lagrange, em que vamos montar uma função Lagrangiana e impor que seu gradiente seja zero.
Passo 2
Definimos a Lagrangiana como
Passo 3
Calculando as derivadas parciais, obtemos
Passo 4
Igualando as duas expressões de
, temos
que leva a
Passo 5
Da restrição
isolamos
. Substituindo em
dá
que é equivalente a
Resolvendo esta quadrática, encontramos
Então
Passo 6
Para decidir qual é máximo ou mínimo, avaliamos
em cada ponto:
Comparando os valores, o menor é
e o maior é
.
Resposta
O valor mínimo de
é
em
e o valor máximo é
em
.