Seja
f(x, y)=k(x-y)^2+y^42-y^22, k neq 0
Classifique os pontos críticos da função f no caso em que k>0.

Passo 1

O enunciado pede para a gente achar e classificar os pontos críticos de
f(x,y)=k(x−y)²+\frac{y⁴}{2}−\frac{y²}{2} no caso k>0, então o conteúdo aqui é otimização de funções de duas variáveis: vamos precisar calcular o gradiente, resolver ∇f=0, montar a Hessiana e usar seus determinantes para classificar os pontos.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais para montar o sistema ∇f=0:
A derivada em relação a x é
fx=2k(x−y)
e em relação a y é

Passo 3

Resolver o sistema f_x=0 e f_y=0:
De f_x=0 vem x=y. Substituindo em f_y=0 dá
−2k·0+2y³−y=0³
ou seja
y(2y²−1)=0²
de onde y=0 ou y=±\tfrac1{\sqrt2}. Como x=y, os pontos críticos são

Passo 4

Calcular as segundas derivadas para montar a Hessiana:
fxx=2k, fxy=−2k, fyy=2k+6y²−1²
O determinante da Hessiana é

Passo 5

Avaliar D e f_{xx} em cada ponto para classificar:
  • Em (0,0): y=0 ⇒ D=2k(−1)<0, logo ponto de sela.
  • Em (±1/√2,±1/√2): y²=1/2 ⇒ D=2k·2>0 e f_{xx}=2k>0, logo mínimo local.

Resposta

O ponto (0,0) é ponto de sela. Os pontos (1/√2,1/√2) e (−1/√2,−1/√2) são mínimos locais.

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