Seja
Classifique os pontos críticos da função
no caso em que
.
Passo 1
O enunciado pede para a gente achar e classificar os pontos críticos de
f(x,y)=k(x−y)²+\frac{y⁴}{2}−\frac{y²}{2} no caso k>0, então o conteúdo aqui é otimização de funções de duas variáveis: vamos precisar calcular o gradiente, resolver ∇f=0, montar a Hessiana e usar seus determinantes para classificar os pontos.
f(x,y)=k(x−y)²+\frac{y⁴}{2}−\frac{y²}{2} no caso k>0, então o conteúdo aqui é otimização de funções de duas variáveis: vamos precisar calcular o gradiente, resolver ∇f=0, montar a Hessiana e usar seus determinantes para classificar os pontos.
Passo 2
Calcular as derivadas parciais para montar o sistema ∇f=0:
A derivada em relação a x é
A derivada em relação a x é
e em relação a y é
Passo 3
Resolver o sistema f_x=0 e f_y=0:
De f_x=0 vem x=y. Substituindo em f_y=0 dá
De f_x=0 vem x=y. Substituindo em f_y=0 dá
ou seja
de onde y=0 ou y=±\tfrac1{\sqrt2}. Como x=y, os pontos críticos são
Passo 4
Calcular as segundas derivadas para montar a Hessiana:
O determinante da Hessiana é
Passo 5
Avaliar D e f_{xx} em cada ponto para classificar:
- Em (0,0): y=0 ⇒ D=2k(−1)<0, logo ponto de sela.
- Em (±1/√2,±1/√2): y²=1/2 ⇒ D=2k·2>0 e f_{xx}=2k>0, logo mínimo local.
Resposta
O ponto (0,0) é ponto de sela. Os pontos (1/√2,1/√2) e (−1/√2,−1/√2) são mínimos locais.