Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os alores máximo e mínimo da função sujeita à(s) restrição(ões) dada(s).
f(x, y)=x y ; x^2+4 y^2=8.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os valores máximo e mínimo da função de duas variáveis f(x,y)=x y sujeita à restrição x^2+4y^2=8. O conteúdo aqui é otimização com restrição usando multiplicadores de Lagrange, e vamos precisar saber como montar a função Lagrangeana e resolver o sistema formado pelas derivadas parciais.

Passo 2

A ideia do método de Lagrange é incorporar a restrição em uma nova função L(x,y,lambda). Montamos
L(x,y,lambda)=x y - lambdal(x^2+4y^2-8r)
Em seguida, calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero para obter o sistema:
partial Lpartial x=y-2lambda x=0, partial Lpartial y=x-8lambda y=0, partial Lpartial lambda=-(x^2+4y^2-8)=0

Passo 3

Das duas primeiras equações temos y=2lambda x e x=8lambda y. Eliminando lambda:
y2x=x8yimplies 8y^2=2x^2implies x^2=4y^2
Substituindo essa relação na restrição x^2+4y^2=8
4y^2+4y^2=8 implies 8y^2=8 implies y^2=1 implies y=pm1,
e daí x^2=4y^2=4implies x=pm2. Os pontos críticos são (2,1),(-2,1),(2,-1),(-2,-1).

Passo 4

Agora avaliamos f(x,y)=x y nesses pontos:
f(2,1)=2, f(-2,1)=-2, f(2,-1)=-2, f(-2,-1)=2
Comparando, o maior valor de f é 2 e o menor é -2.

Resposta

O valor máximo de f é 2 e o valor mínimo de f é -2.

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