Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os alores máximo e mínimo da função sujeita à(s) restrição(ões) dada(s).
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os valores máximo e mínimo da função de duas variáveis
sujeita à restrição
. O conteúdo aqui é otimização com restrição usando multiplicadores de Lagrange, e vamos precisar saber como montar a função Lagrangeana e resolver o sistema formado pelas derivadas parciais.
Passo 2
A ideia do método de Lagrange é incorporar a restrição em uma nova função
. Montamos
Em seguida, calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero para obter o sistema:
Passo 3
Das duas primeiras equações temos
e
. Eliminando
:
Substituindo essa relação na restrição
dá
e daí
. Os pontos críticos são
.
Passo 4
Agora avaliamos
nesses pontos:
Comparando, o maior valor de
é
e o menor é
.
Resposta
O valor máximo de
é 2 e o valor mínimo de
é -2.