Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os alores máximo e mínimo da função sujeita à(s) restrição(ões) dada(s).
.
Passo 1
Resumo do problema: queremos achar os extremos da função
sujeita à restrição
. O método de multiplicadores de Lagrange é ideal para isso, pois incorpora a condição da restrição direto na otimização.
Passo 2
Montamos a Lagrangiana assim:
Aqui
é o multiplicador de Lagrange e o termo
garante que a restrição seja satisfeita.
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero:
Isso gera o sistema de equações para
.
Passo 4
Das duas primeiras equações obtemos:
A ideia é combinar essas relações com a restrição para encontrar os pontos candidatos.
Passo 5
Analisando casos:
• Caso 1:
. Da restrição
vem
. Isso dá os pontos
.
• Caso 2:
. Multiplicando as duas relações anteriores surge
, logo
. Substituindo em
obtemos
. Na restrição:
com isso
.
Passo 6
Os pontos críticos e valores de
são:
•
e
, onde
;
• e
, onde
;
• e
, onde
.
•
•
Comparando esses valores, concluímos os extremos globais.
Resposta
O valor máximo de f é 2, atingido nos pontos (2,1) e (-2,-1); e o valor mínimo de f é -2, atingido nos pontos (-2,1) e (2,-1).