Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os alores máximo e mínimo da função sujeita à(s) restrição(ões) dada(s).
f(x, y)=x y ; x^2+4 y^2=8.

Passo 1

Resumo do problema: queremos achar os extremos da função f(x,y)=xy sujeita à restrição x^2+4y^2=8. O método de multiplicadores de Lagrange é ideal para isso, pois incorpora a condição da restrição direto na otimização.

Passo 2

Montamos a Lagrangiana assim:
L(x,y,lambda)=xy - lambda,(x^2+4y^2-8)
Aqui lambda é o multiplicador de Lagrange e o termo -lambda(g(x,y)-c) garante que a restrição seja satisfeita.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero:
partialLpartial x=y-2lambda x=0, partialLpartial y=x-8lambda y=0, partialLpartial lambda=x^2+4y^2-8=0
Isso gera o sistema de equações para x,y,lambda.

Passo 4

Das duas primeiras equações obtemos:
y=2lambda x e x=8lambda y
A ideia é combinar essas relações com a restrição para encontrar os pontos candidatos.

Passo 5

Analisando casos:
• Caso 1: y=0. Da restrição x^2+0=8 vem x=pmraiz8=pm2raiz2. Isso dá os pontos (pm2raiz2,0).
• Caso 2: yneq0. Multiplicando as duas relações anteriores surge 16lambda^2=1, logo lambda=pm1/4. Substituindo em x=8lambda y obtemos x=pm2y. Na restrição:
(pm2y)^2+4y^2=8Rightarrow8y^2=8Rightarrow y=pm1,
com isso x=pm2.

Passo 6

Os pontos críticos e valores de f são:
(2,1) e (-2,-1), onde f=2;
(-2,1) e (2,-1), onde f=-2;
(2raiz2,0) e (-2raiz2,0), onde f=0.
Comparando esses valores, concluímos os extremos globais.

Resposta

O valor máximo de f é 2, atingido nos pontos (2,1) e (-2,-1); e o valor mínimo de f é -2, atingido nos pontos (-2,1) e (2,-1).

Exercícios relacionados