Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os alores máximo e mínimo da função sujeita à(s) restrição(ões) dada(s).
f(x, y)=x^2+2 x y+y^2 ; x+2 y-1=0.

Passo 1

Vamos usar multiplicadores de Lagrange para encontrar extremos de f(x,y)=x^2+2xy+y^2 sujeitos à restrição g(x,y)=x+2y-1=0. Precisamos montar o lagrangiano e resolver nabla f=lambdanabla g junto com a restrição.

Passo 2

Definimos o lagrangiano
L(x,y,lambda)=x^2+2xy+y^2-lambda,(x+2y-1)
Então calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero:
Lx=2x+2y-lambda=0 Ly=2x+2y-2lambda=0 Llambda=-(x+2y-1)=0

Passo 3

Subtraindo a segunda equação da primeira, obtemos
(2x+2y-lambda)-(2x+2y-2lambda)=0implieslambda=0
Com lambda=0, voltamos em Lx=0:
2x+2y=0implies x+y=0
E usamos a restrição:
x+2y=1
Daí, de x=-y segue
-y+2y=1implies y=1, x=-1

Passo 4

Avaliamo\s o valor de f nesse ponto:
f(-1,1)=(-1)^2+2(-1)(1)+1^2=1-2+1=0
Para classificar, note que ao restringir f à reta x+2y=1 ela vira uma parábola com coeficiente positivo, logo tem mínimo global e não tem máximo (vai a +infty).

Resposta

O valor mínimo é 0, obtido em (x,y)=(-1,1). Não há valor máximo ( fto+infty na restrição).

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