Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os alores máximo e mínimo da função sujeita à(s) restrição(ões) dada(s). .
Passo 1
Vamos usar multiplicadores de Lagrange para encontrar extremos de sujeitos à restrição . Precisamos montar o lagrangiano e resolver junto com a restrição.
Passo 2
Definimos o lagrangiano
Então calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero:
Passo 3
Subtraindo a segunda equação da primeira, obtemos
(2x+2y-lambda)-(2x+2y-2lambda)=0implieslambda=0
Com lambda=0, voltamos em Lx=0:
2x+2y=0implies x+y=0
E usamos a restrição:
x+2y=1
Daí, de x=-y segue
-y+2y=1implies y=1, x=-1
Passo 4
Avaliamo\s o valor de f nesse ponto:
f(-1,1)=(-1)^2+2(-1)(1)+1^2=1-2+1=0
Para classificar, note que ao restringir f à reta x+2y=1 ela vira uma parábola com coeficiente positivo, logo tem mínimo global e não tem máximo (vai a +infty).
Resposta
O valor mínimo é 0, obtido em (x,y)=(-1,1). Não há valor máximo ( fto+infty na restrição).