Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os alores máximo e mínimo da função sujeita à(s) restrição(ões) dada(s).
.
Passo 1
Estamos buscando os extremos da função
sujeita à restrição
. O conteúdo aqui é multiplicadores de Lagrange: vamos usar a condição
, onde
.
Passo 2
Calculemos primeiro os gradientes. Para
temos
E para a restrição
temos
As equações de Lagrange são
Passo 3
A partir das equações de Lagrange notamos que
implicam
Além disso, a restrição impõe
.
Passo 4
Resolvendo o sistema
temos de
que
. Substituindo em
dá
Passo 5
Agora avaliamos
nesse ponto:
Como
restringida à reta
resulta numa quadrática não limitada acima, concluímos que não há valor máximo, apenas mínimo.
Passo 6
Portanto, o valor mínimo de
sob a restrição ocorre em
e vale
. Não existe valor máximo (a função é não limitada acima).
Resposta
Mínimo de 0 em (-1,1); não há máximo.