Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os alores máximo e mínimo da função sujeita à(s) restrição(ões) dada(s).
f(x, y)=x^2+2 x y+y^2 ; x+2 y-1=0.

Passo 1

Estamos buscando os extremos da função f(x,y)=x^2+2xy+y^2 sujeita à restrição x+2y-1=0. O conteúdo aqui é multiplicadores de Lagrange: vamos usar a condição nabla f=lambdanabla g, onde g(x,y)=x+2y-1.

Passo 2

Calculemos primeiro os gradientes. Para f temos
nabla f=(partialxf,partialyf)=(2x+2y,;2x+2y)
E para a restrição g(x,y)=x+2y-1 temos
nabla g=(1,2)
As equações de Lagrange são
2x+2y=lambda, 2x+2y=2lambda

Passo 3

A partir das equações de Lagrange notamos que
2x+2y=lambdae2x+2y=2lambda
implicam
2x+2y=lambda=2lambdaimplieslambda=0e x+y=0
Além disso, a restrição impõe x+2y=1.

Passo 4

Resolvendo o sistema
x+y=0, x+2y=1,
temos de x+y=0 que x=-y. Substituindo em x+2y=1
(-y)+2y=1implies y=1e x=-1

Passo 5

Agora avaliamos f nesse ponto:
f(-1,1)=(-1)^2+2cdot(-1)cdot1+1^2=1-2+1=0
Como f(x,y)=x^2+2xy+y^2=(x+y)^2 restringida à reta x+2y=1 resulta numa quadrática não limitada acima, concluímos que não há valor máximo, apenas mínimo.

Passo 6

Portanto, o valor mínimo de f sob a restrição ocorre em (-1,1) e vale 0. Não existe valor máximo (a função é não limitada acima).

Resposta

Mínimo de 0 em (-1,1); não há máximo.

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