Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os alores máximo e mínimo da função sujeita à(s) restrição(ões) dada(s).
f(x, y)=x^2+4 y^2 ; x y=1, x>0 e y>0.

Passo 1

Temos a função f(x,y)=x^2+4y^2 e a restrição xy=1 com x>0 e y>0. O assunto é multiplicadores de Lagrange, técnica que busca extremos de uma função sujeita a uma ou mais restrições, impondo que o gradiente de f seja paralelo ao gradiente da restrição g(x,y)=xy-1 multiplicado por um escalar lambda.

Passo 2

Definimos a Lagrangiana
L(x,y,lambda)=x^2+4y^2-lambdal(xy-1r)
e escrevemos as condições de otimalidade pelas derivadas parciais:
partialLpartial x=2x-lambda y=0, partialLpartial y=8y-lambda x=0, partialLpartial lambda=xy-1=0

Passo 3

A partir de partialLpartial x=0 isolamos lambda:
2x-lambda y=0Rightarrowlambda=2xy
E de partialLpartial y=0 isolamos outra expressão para lambda:
8y-lambda x=0Rightarrowlambda=8yx

Passo 4

Igualando as duas expressões de lambda temos
2xy=8yxRightarrow2x^2=8y^2Rightarrow x^2=4y^2Rightarrow x=2y;(>0)

Passo 5

Aplicando a restrição xy=1 e substituindo x=2y obtemos
2y^2=1Rightarrow y=1raiz2, x=2y=raiz2

Passo 6

Finalmente, calculamos f no ponto crítico:
f(raiz2,1/raiz2)=(raiz2)^2+4l(1/raiz2r)^2=2+2=4
Como para xto0^+ (e ytoinfty) ou yto0^+ (e xtoinfty) mantendo xy=1 temos ftoinfty, concluímos que não existe máximo, apenas um mínimo global.

Resposta

O valor mínimo de f é 4 no ponto l(raiz2,1/raiz2r). Não existe valor máximo, pois a função não é limitada acima sob a restrição.

Exercícios relacionados