Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os alores máximo e mínimo da função sujeita à(s) restrição(ões) dada(s).
e
.
Passo 1
Temos a função
e a restrição
com
e
. O assunto é multiplicadores de Lagrange, técnica que busca extremos de uma função sujeita a uma ou mais restrições, impondo que o gradiente de
seja paralelo ao gradiente da restrição
multiplicado por um escalar
.
Passo 2
Definimos a Lagrangiana
e escrevemos as condições de otimalidade pelas derivadas parciais:
Passo 3
A partir de
isolamos
:
E de
isolamos outra expressão para
:
Passo 4
Igualando as duas expressões de
temos
Passo 5
Aplicando a restrição
e substituindo
obtemos
Passo 6
Finalmente, calculamos
no ponto crítico:
Como para
(e
) ou
(e
) mantendo
temos
, concluímos que não existe máximo, apenas um mínimo global.
Resposta
O valor mínimo de
é
no ponto
. Não existe valor máximo, pois a função não é limitada acima sob a restrição.