Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os alores máximo e mínimo da função sujeita à(s) restrição(ões) dada(s).
f(x, y)=x^2+4 y^2 ; x y=1, x>0 e y>0.

Passo 1

O enunciado pede para achar os extremos da função sujeita à restrição usando multiplicadores de Lagrange. O conteúdo é método de Lagrange para uma restrição. Vamos precisar montar a função Lagrangeana e igualar as derivadas parciais a zero.

Passo 2

Definimos a restrição por g(x,y)=xy−1=0 e montamos a Lagrangeana
L(x,y,lambda)=x^2+4y^2-lambda(xy-1)
Em seguida calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero:
partial Lpartial x=2x-lambda y=0,
partial Lpartial y=8y-lambda x=0,
partial Lpartiallambda=-(xy-1)=0

Passo 3

Das duas primeiras igualdades obtemos
2x=lambda ye8y=lambda x
Logo
lambda=2xy=8yximplies2x^2=8y^2implies x^2=4y^2implies x=2y
sendo x,y>0.

Passo 4

Usando a restrição xy=1 com x=2y, temos
2ycdot y=1implies2y^2=1implies y=1raiz2, x=2y=raiz2
Esse é o único ponto crítico no domínio x>0, y>0.

Passo 5

Avaliando a função em (x,y)=(√2,1/√2):
f(raiz2,1/raiz2)=(raiz2)^2+4l(1/raiz2r)^2=2+4cdottfrac12=4
Como quando x→0 ou y→0 (mantendo xy=1) f→+∞, não há máximo finito, apenas o mínimo encontrado.

Resposta

Mínimo global em (x,y)=(√2,1/√2) com valor 4. Não existe máximo finito.

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