Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os alores máximo e mínimo da função sujeita à(s) restrição(ões) dada(s).
e
.
Passo 1
O enunciado pede para achar os extremos da função sujeita à restrição usando multiplicadores de Lagrange. O conteúdo é método de Lagrange para uma restrição. Vamos precisar montar a função Lagrangeana e igualar as derivadas parciais a zero.
Passo 2
Definimos a restrição por g(x,y)=xy−1=0 e montamos a Lagrangeana
Em seguida calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero:
Passo 3
Das duas primeiras igualdades obtemos
Logo
sendo x,y>0.
Passo 4
Usando a restrição xy=1 com x=2y, temos
Esse é o único ponto crítico no domínio x>0, y>0.
Passo 5
Avaliando a função em (x,y)=(√2,1/√2):
Como quando x→0 ou y→0 (mantendo xy=1) f→+∞, não há máximo finito, apenas o mínimo encontrado.
Resposta
Mínimo global em (x,y)=(√2,1/√2) com valor 4. Não existe máximo finito.