Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os alores máximo e mínimo da função sujeita à(s) restrição(ões) dada(s). .
Passo 1
A gente quer achar os extremos da função sujeita à restrição . Isso é um problema de multiplicadores de Lagrange, que usamos para otimizar funções com restrições.
Passo 2
Formamos o Lagrangiano . As equações críticas vêm de igualar a zero as derivadas parciais:
Passo 3
Da segunda equação -4y-2lambda y=0 fatoramos y(-4-2lambda)=0. Então ou y=0 ou lambda=-2. Vamos estudar cada caso.
Passo 4
Caso y=0: a restrição vira x^2-2x=0, ou seja x(x-2)=0. Logo temos dois pontos: (0,0) e (2,0). Calculando f: f(0,0)=0 e f(2,0)=4.
Passo 5
Caso lambda=-2: da primeira equação
2x-(-2)(2x-2)=0implies2x+2(2x-2)=0implies6x-4=0implies x=23
Substituindo na restrição: l(tfrac23r)^2+y^2-2cdottfrac23=0impliestfrac49+y^2-tfrac43=0implies y^2=tfrac89implies y=pmtfrac2raiz23