Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os alores máximo e mínimo da função sujeita à(s) restrição(ões) dada(s).
f(x, y)=x^2-2 y^2 ; x^2+y^2-2 x=0.

Passo 1

A gente quer achar os extremos da função f(x,y)=x^2-2y^2 sujeita à restrição x^2+y^2-2x=0. Isso é um problema de multiplicadores de Lagrange, que usamos para otimizar funções com restrições.

Passo 2

Formamos o Lagrangiano L(x,y,lambda)=f(x,y)-lambdal(x^2+y^2-2xr). As equações críticas vêm de igualar a zero as derivadas parciais:
partialLpartial x=2x-lambda(2x-2)=0, partialLpartial y=-4y-2lambda y=0, partialLpartial lambda=x^2+y^2-2x=0

Passo 3

Da segunda equação -4y-2lambda y=0 fatoramos y(-4-2lambda)=0. Então ou y=0 ou lambda=-2. Vamos estudar cada caso.

Passo 4

Caso y=0: a restrição vira x^2-2x=0, ou seja x(x-2)=0. Logo temos dois pontos: (0,0) e (2,0). Calculando f: f(0,0)=0 e f(2,0)=4.

Passo 5

Caso lambda=-2: da primeira equação
2x-(-2)(2x-2)=0implies2x+2(2x-2)=0implies6x-4=0implies x=23
Substituindo na restrição:
l(tfrac23r)^2+y^2-2cdottfrac23=0impliestfrac49+y^2-tfrac43=0implies y^2=tfrac89implies y=pmtfrac2raiz23
Então os pontos são (tfrac23,pmtfrac2raiz23) e
fl(tfrac23,pmtfrac2raiz23r)=tfrac49-2cdottfrac89=-tfrac129=-tfrac43

Passo 6

Comparando os valores encontramos: f=4 em (2,0), f=0 em (0,0) e f=-tfrac43 em (tfrac23,pmtfrac2raiz23). O máximo vale 4 e o mínimo vale -tfrac43.

Resposta

Valor máximo de 4 em (2,0); valor mínimo de -4/3 em (2/3,2raiz2/3) e (2/3,-2raiz2/3).

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