Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os alores máximo e mínimo da função sujeita à(s) restrição(ões) dada(s).
* f(x, y)=x^2-2 y^2 ; x^2+y^2-2 x=0.

Passo 1

O enunciado pede para achar os pontos de máximo e mínimo da função f(x,y)=x^2-2y^2 sujeita à restrição x^2+y^2-2x=0. O conteúdo aqui é o método dos multiplicadores de Lagrange, que nos diz para construir uma função L(x,y,lambda)=f(x,y)-lambda,g(x,y), onde g(x,y)=x^2+y^2-2x.

Passo 2

Escrevemos a função de Lagrange e suas condições de extremalidade. Definindo L(x,y,lambda)=x^2-2y^2-lambda,(x^2+y^2-2x),as condições são: nablaxL=0, nablayL=0 e a própria restrição.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais:
partial Lpartial x=2x-lambda(2x-2)=0, partial Lpartial y=-4y-lambda(2y)=0,e ainda
x^2+y^2-2x=0

Passo 4

A partir de -4y-2lambda y=0 temos duas possibilidades: ou y=0 ou lambda=-2.

Passo 5

Caso 1: y=0. A restrição vira x^2-2x=0, ou seja x(x-2)=0. Logo os pontos são (0,0) e (2,0).

Passo 6

Caso 2: lambda=-2. Da equação em x:
2x-(-2)(2x-2)=0implies2x+4x-4=0implies6x=4implies x=tfrac23E da restrição:
l(tfrac23r)^2+y^2-2cdottfrac23=0impliestfrac49+y^2-tfrac43=0implies y^2=tfrac89implies y=pmtfrac2raiz23

Passo 7

Agora avaliamos f em cada ponto:
  • f(0,0)=0.
  • f(2,0)=2^2-2cdot0^2=4
  • \displaystyle f\Bigl(\tfrac23,\pm\tfrac{2\sqrt2}3\Bigr)=\Bigl(\tfrac23\Bigr)2-2\Bigl(\tfrac{2\sqrt2}3\Bigr)2=\tfrac49-2\cdot\tfrac89=-\tfrac43.\

Passo 8

Comparando os valores, o maior é 4 e o menor é -4/3.

Resposta

O valor máximo de f é 4 em (2,0) e o valor mínimo é -4/3 nos pontos (2/3,pm2raiz2/3).

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