Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os alores máximo e mínimo da função sujeita à(s) restrição(ões) dada(s).
.
Passo 1
O enunciado pede para achar os pontos de máximo e mínimo da função
sujeita à restrição
. O conteúdo aqui é o método dos multiplicadores de Lagrange, que nos diz para construir uma função
, onde
.
Passo 2
Escrevemos a função de Lagrange e suas condições de extremalidade. Definindo
as condições são:
,
e a própria restrição.
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais:
Passo 4
A partir de
temos duas possibilidades: ou
ou
.
Passo 5
Caso 1:
. A restrição vira
, ou seja
. Logo os pontos são
e
.
Passo 6
Caso 2:
. Da equação em
:
Passo 7
Agora avaliamos
em cada ponto:
-
. -
- \displaystyle f\Bigl(\tfrac23,\pm\tfrac{2\sqrt2}3\Bigr)=\Bigl(\tfrac23\Bigr)2-2\Bigl(\tfrac{2\sqrt2}3\Bigr)2=\tfrac49-2\cdot\tfrac89=-\tfrac43.\
Passo 8
Comparando os valores, o maior é
e o menor é
.
Resposta
O valor máximo de
é
em
e o valor mínimo é
nos pontos
.