Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os alores máximo e mínimo da função sujeita à(s) restrição(ões) dada(s).
f(x, y)=x^2+2 y^2 ; 3 x+y=1.

Passo 1

Temos a função de interesse f(x,y)=x^2+2y^2 sujeita à restrição linear 3x+y=1. O conteúdo é multiplicadores de Lagrange, e vamos precisar montar a lagrangiana e igualar as derivadas parciais a zero.

Passo 2

Definimos a lagrangiana como L(x,y,lambda)=x^2+2y^2-lambda,(3x+y-1). As condições de otimalidade são as equações: partial Lpartial x=2x-3lambda=0partial Lpartial y=4y-lambda=0partial Lpartial lambda=3x+y-1=0

Passo 3

Da primeira equação vem x=tfrac32lambda e da segunda y=tfrac14lambda. Substituindo na restrição:
3l(tfrac32lambdar)+tfrac14lambda=1Longrightarrow92lambda+14lambda=1Longrightarrow192lambda=1Longrightarrowlambda=219

Passo 4

Logo x=tfrac32cdottfrac219=tfrac319 e y=tfrac14cdottfrac219=tfrac138. Entretanto, percebemos que o coeficiente de x^2 na parábola da restrição é positivo, de modo que há um mínimo mas não há máximo finito.

Passo 5

Para encontrar o valor mínimo, avaliamos f em (x,y)=l(tfrac319,tfrac138r):
fl(tfrac319,tfrac138r)=l(tfrac319r)^2+2l(tfrac138r)^2=9361+211444=9361+1722=18+1722=19722=138

Passo 6

Conclui-se que o valor mínimo de f sob a restrição é tfrac138 e não existe valor máximo porque fto+infty ao longo da reta 3x+y=1.

Resposta

Mínimo de f=tfrac138 em l(tfrac319,tfrac138r). Não há valor máximo ( f não é limitada superiormente).

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