Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os alores máximo e mínimo da função sujeita à(s) restrição(ões) dada(s).
.
Passo 1
Vamos achar extremos de
sob a restrição
usando multiplicadores de Lagrange. A ideia é montar o sistema
com
e resolver junto com
.
Passo 2
Calculamos os gradientes:
Passo 3
A condição de Lagrange
mais a restrição dá
Dividindo tudo por 2 obtemos as equações
e
.
Reescrevendo, temos e
. Descartando
(que levaria a
), igualamos as expressões e achamos
, ou seja,
e
. Para
:
. Para
:
.
Reescrevendo, temos
Passo 4
Impondo
: em ambos os casos dá
, logo
. Quando
ficamos com
e
. Quando
temos
e
.
Passo 5
Avaliando
: se
,
(mínimo); se
,
(máximo).
Resposta
O valor mínimo de
é
nos pontos
e
, e o valor máximo é
nos pontos
e
.