Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os alores máximo e mínimo da função sujeita à(s) restrição(ões) dada(s).
f(x, y)=x^2-2 x y+y^2 ; x^2+y^2=1.

Passo 1

Vamos achar extremos de f(x,y)=x^2-2xy+y^2 sob a restrição x^2+y^2=1 usando multiplicadores de Lagrange. A ideia é montar o sistema nabla f=lambdanabla g com g(x,y)=x^2+y^2-1 e resolver junto com g=0.

Passo 2

Calculamos os gradientes:
nabla f=(2x-2y,,-2x+2y), nabla g=(2x,2y)

Passo 3

A condição de Lagrange nabla f=lambdanabla g mais a restrição dá
2x-2y=2lambda x, -2x+2y=2lambda y, x^2+y^2=1
Dividindo tudo por 2 obtemos as equações x-y=lambda x e -x+y=lambda y.
Reescrevendo, temos y=(1-lambda)x e x=(1-lambda)y. Descartando lambda=1 (que levaria a x=y=0), igualamos as expressões e achamos (1-lambda)^2=1, ou seja, lambda=0 e lambda=2. Para lambda=0: y=x. Para lambda=2: y=-x.

Passo 4

Impondo x^2+y^2=1: em ambos os casos dá 2x^2=1, logo x=pmtfrac1raiz2. Quando y=x ficamos com l(tfrac1raiz2,tfrac1raiz2r) e l(-tfrac1raiz2,-tfrac1raiz2r). Quando y=-x temos l(tfrac1raiz2,-tfrac1raiz2r) e l(-tfrac1raiz2,tfrac1raiz2r).

Passo 5

Avaliando f: se y=x, f=(x-y)^2=0 (mínimo); se y=-x, f=(x-y)^2=(2x)^2=2 (máximo).

Resposta

O valor mínimo de f é 0 nos pontos l(tfrac1raiz2,tfrac1raiz2r) e l(-tfrac1raiz2,-tfrac1raiz2r), e o valor máximo é 2 nos pontos l(tfrac1raiz2,-tfrac1raiz2r) e l(-tfrac1raiz2,tfrac1raiz2r).

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