Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os alores máximo e mínimo da função sujeita à(s) restrição(ões) dada(s).
f(x, y)=x^2-2 x y+y^2 ; x^2+y^2=1.

Passo 1

O enunciado pede os extremos de f(x,y)=x^2-2xy+y^2 sujeitos a x^2+y^2=1. É um problema de extremos condicionados usando multiplicadores de Lagrange.

Passo 2

Definimos a Lagrangiana L(x,y,lambda)=f(x,y)-lambdal(x^2+y^2-1r). A ideia é igualar as derivadas parciais de L a zero para encontrar candidatos a extremos.

Passo 3

Isso gera as equações abaixo:
2x-2y-2lambda x=0
-2x+2y-2lambda y=0
x^2+y^2-1=0

Passo 4

Dividindo as duas primeiras equações por 2 e reorganizando, obtemos
x-y-lambda x=0
-y+x-lambda y=0
com a restrição x^2+y^2=1. Isso é um sistema linear homogêneo em x e y.

Passo 5

Para ter solução não trivial em (x,y), o determinante deve ser zero:
1-lambda & -1 -1 & 1-lambda =(1-lambda)^2-1=0
Daí lambda=0 ou lambda=2.

Passo 6

Se lambda=0, as equações dão x-y=0, logo x=y. Com x^2+y^2=1 vem x=y=pm1/raiz2. Nos pontos (pm1/raiz2,pm1/raiz2) temos
f(x,y)=(x-y)^2=0
logo valor mínimo 0.

Passo 7

Se lambda=2, as equações dão x-y-2x=0Rightarrow x+y=0, então y=-x. Com a restrição aparece x=pm1/raiz2 e y=mp1/raiz2. Nesses pontos
f(x,y)=(x-y)^2=(2x)^2=2
logo valor máximo 2.

Resposta

O valor mínimo de f é 0 nos pontos (1/raiz2,1/raiz2) e (-1/raiz2,-1/raiz2), e o valor máximo de f é 2 nos pontos (1/raiz2,-1/raiz2) e (-1/raiz2,1/raiz2).

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