Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os alores máximo e mínimo da função sujeita à(s) restrição(ões) dada(s). .
Passo 1
O enunciado pede os extremos de sujeitos a . É um problema de extremos condicionados usando multiplicadores de Lagrange.
Passo 2
Definimos a Lagrangiana . A ideia é igualar as derivadas parciais de a zero para encontrar candidatos a extremos.
Passo 3
Isso gera as equações abaixo:
Passo 4
Dividindo as duas primeiras equações por 2 e reorganizando, obtemos
com a restrição . Isso é um sistema linear homogêneo em e .
Passo 5
Para ter solução não trivial em , o determinante deve ser zero:
Daí lambda=0 ou lambda=2.
Passo 6
Se lambda=0, as equações dão x-y=0, logo x=y. Com x^2+y^2=1 vem x=y=pm1/raiz2. Nos pontos (pm1/raiz2,pm1/raiz2) temos
f(x,y)=(x-y)^2=0
logo valor mínimo 0.
Passo 7
Se lambda=2, as equações dão x-y-2x=0Rightarrow x+y=0, então y=-x. Com a restrição aparece x=pm1/raiz2 e y=mp1/raiz2. Nesses pontos
f(x,y)=(x-y)^2=(2x)^2=2
logo valor máximo 2.
Resposta
O valor mínimo de f é 0 nos pontos (1/raiz2,1/raiz2) e (-1/raiz2,-1/raiz2), e o valor máximo de f é 2 nos pontos (1/raiz2,-1/raiz2) e (-1/raiz2,1/raiz2).