Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os alores máximo e mínimo da função sujeita à(s) restrição(ões) dada(s).
.
Passo 1
A gente quer encontrar os extremos da função
sujeita à restrição
. Esse é um problema de otimização com restrições, que a gente resolve usando multiplicadores de Lagrange: vamos montar a Lagrangiana e depois achar os pontos críticos.
Passo 2
Primeiro, montamos a Lagrangiana e as equações do método. Definimos a função de restrição
e escrevemos
Então calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero:
Passo 3
Agora analisamos caso a caso. Primeiro, se
, a última equação dá
, ou seja
. Para esses pontos a primeira equação é trivial e a segunda exige
, logo
. Logo temos dois candidatos:
e
, ambos com
.
Passo 4
Em seguida, se
, da primeira equação podemos dividir por
e obter
. Substituindo na segunda,
, então
implica
. Inserindo isso na restrição:
Assim obtemos quatro pontos: para
,
; para
,
.
Passo 5
Por fim, avaliamos
nesses candidatos:
- Em
, . - Em
ou , . - Em
ou , .
Logo o valor máximo énos pontos e o valor mínimo é nos pontos .
Resposta
Valor máximo: 4 em (2,1) e (–2,1); Valor mínimo: –4 em (2,–1) e (–2,–1).