Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os alores máximo e mínimo da função sujeita à(s) restrição(ões) dada(s).
f(x, y)=x^2 y ; x^2+2 y^2=6.

Passo 1

A gente quer encontrar os extremos da função f(x,y)=x^2y sujeita à restrição x^2+2y^2=6. Esse é um problema de otimização com restrições, que a gente resolve usando multiplicadores de Lagrange: vamos montar a Lagrangiana e depois achar os pontos críticos.

Passo 2

Primeiro, montamos a Lagrangiana e as equações do método. Definimos a função de restrição g(x,y)=x^2+2y^2-6=0 e escrevemos
L(x,y,lambda)=f(x,y)-lambda,g(x,y)=x^2y-lambda(x^2+2y^2-6)
Então calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero:
partialLpartial x=2xy-2lambda x=0, partialLpartial y=x^2-4lambda y=0, partialLpartial lambda=-(x^2+2y^2-6)=0

Passo 3

Agora analisamos caso a caso. Primeiro, se x=0, a última equação dá 2y^2=6, ou seja y=pmraiz3. Para esses pontos a primeira equação é trivial e a segunda exige 0=4lambda y, logo lambda=0. Logo temos dois candidatos: (0,raiz3) e (0,-raiz3), ambos com f=0.

Passo 4

Em seguida, se xneq0, da primeira equação podemos dividir por 2x e obter y=lambda. Substituindo na segunda, x^2=4lambda y=4y^2, então x^2=4y^2 implica x=pm2y. Inserindo isso na restrição:
(pm2y)^2+2y^2=6Rightarrow6y^2=6Rightarrow y=pm1
Assim obtemos quatro pontos: para y=1, x=pm2; para y=-1, x=pm2.

Passo 5

Por fim, avaliamos f(x,y)=x^2y nesses candidatos:
  • Em (0,pmraiz3), f=0.
  • Em (2,1) ou (-2,1), f=4.
  • Em (2,-1) ou (-2,-1), f=-4.
    Logo o valor máximo é 4 nos pontos (pm2,1) e o valor mínimo é -4 nos pontos (pm2,-1).

Resposta

Valor máximo: 4 em (2,1) e (–2,1); Valor mínimo: –4 em (2,–1) e (–2,–1).

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