Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os alores máximo e mínimo da função sujeita à(s) restrição(ões) dada(s).
.
Passo 1
A questão pede pra usar multiplicadores de Lagrange e encontrar os valores máximo e mínimo da função f(x,y)=x²y sujeita à restrição x²+2y²=6. O conteúdo é otimização com restrição e vamos precisar montar a função Lagrangeana e resolver as equações ∂L/∂x=0, ∂L/∂y=0 junto com a restrição.
Passo 2
Montamos a Lagrangeana como segue:
Passo 3
Agora calculamos as derivadas parciais e a condição de contorno:
-
-
- restrição:
.
Passo 4
Da primeira equação temos
, logo ou
ou
.
Caso 1: . Então da restrição
resulta
. Aí
.
Caso 1:
Passo 5
Caso 2:
. Usando na segunda equação vem
, ou seja
. Substituindo na restrição:
implica
e
, com
. Então os pontos são (2,1),(-2,1),(2,-1),(-2,-1).
Passo 6
Finalmente avaliamos f nos candidatos: em (±2,1) temos
e em (±2,-1) temos
. Os casos com x=0 deram
, que é intermediário.
Comparando, o valor máximo de f é 4 e o mínimo é -4.
Comparando, o valor máximo de f é 4 e o mínimo é -4.
Resposta
O valor máximo de f é 4 (nos pontos (2,1) e (-2,1)) e o valor mínimo de f é -4 (nos pontos (2,-1) e (-2,-1)).