Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os alores máximo e mínimo da função sujeita à(s) restrição(ões) dada(s).
f(x, y)=x^2 y ; x^2+2 y^2=6.

Passo 1

A questão pede pra usar multiplicadores de Lagrange e encontrar os valores máximo e mínimo da função f(x,y)=x²y sujeita à restrição x²+2y²=6. O conteúdo é otimização com restrição e vamos precisar montar a função Lagrangeana e resolver as equações ∂L/∂x=0, ∂L/∂y=0 junto com a restrição.

Passo 2

Montamos a Lagrangeana como segue:
L(x,y,lambda)=x^2y-lambdal(x^2+2y^2-6r)

Passo 3

Agora calculamos as derivadas parciais e a condição de contorno:
  1. partial Lpartial x=2xy-2lambda x=0
  2. partial Lpartial y=x^2-4lambda y=0
  3. restrição: x^2+2y^2=6.

Passo 4

Da primeira equação temos 2x(y-lambda)=0, logo ou x=0 ou lambda=y.
Caso 1: x=0. Então da restrição 2y^2=6 resulta y=pmraiz3. Aí f(0,y)=0.

Passo 5

Caso 2: lambda=y. Usando na segunda equação vem x^2=4y^2, ou seja x=pm2y. Substituindo na restrição: 4y^2+2y^2=6 implica y^2=1 e y=pm1, com x=pm2. Então os pontos são (2,1),(-2,1),(2,-1),(-2,-1).

Passo 6

Finalmente avaliamos f nos candidatos: em (±2,1) temos f=4 e em (±2,-1) temos f=-4. Os casos com x=0 deram f=0, que é intermediário.
Comparando, o valor máximo de f é 4 e o mínimo é -4.

Resposta

O valor máximo de f é 4 (nos pontos (2,1) e (-2,1)) e o valor mínimo de f é -4 (nos pontos (2,-1) e (-2,-1)).

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