Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os alores máximo e mínimo da função sujeita à(s) restrição(ões) dada(s).
.
Passo 1
O exercício pede para encontrar os extremos da função
sob a restrição
. O conteúdo é multiplicadores de Lagrange e vamos precisar montar o lagrangiano e igualar seus gradientes.
Passo 2
Definimos o lagrangiano
. A condição de otimalidade exige
Passo 3
Calculamos as derivadas:
Passo 4
Substituímos
e
na restrição:
Ou seja
Passo 5
Isso gera dois valores de
:
Substituindo em e
, obtemos os pontos críticos
Substituindo em
Passo 6
Finalmente, avaliamos
nesses pontos:
Logo um é o máximo e o outro o mínimo.
Passo 7
Concluímos que o maior valor de
ocorre em
e o menor em ((-3\sqrt{2/19},-\tfrac12\sqrt{2/19})). Esta avaliação confirma os valores que encontramos.
Resposta
O valor máximo de
é
e o valor mínimo é
.