Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os alores máximo e mínimo da função sujeita à(s) restrição(ões) dada(s).
f(x, y)=3 x+y ; x^2+2 y^2=1.

Passo 1

O exercício pede para encontrar os extremos da função f(x,y)=3x+y sob a restrição x^2+2y^2=1. O conteúdo é multiplicadores de Lagrange e vamos precisar montar o lagrangiano e igualar seus gradientes.

Passo 2

Definimos o lagrangiano L(x,y,lambda)=3x+y-lambda(x^2+2y^2-1). A condição de otimalidade exige
partial Lpartial x=0, partial Lpartial y=0, partial Lpartial lambda=0

Passo 3

Calculamos as derivadas:
partial Lpartial x=3-2lambda x=0implies x=32lambda,
partial Lpartial y=1-4lambda y=0implies y=14lambda,
partial Lpartial lambda=-(x^2+2y^2-1)=0implies x^2+2y^2=1

Passo 4

Substituímos x=3/(2lambda) e y=1/(4lambda) na restrição:
l(32lambdar)^2+2l(14lambdar)^2=1
Ou seja
94lambda^2+216lambda^2=1 implies 94lambda^2+18lambda^2=1 implies 198lambda^2=1 implies lambda^2=198

Passo 5

Isso gera dois valores de lambda:
x
Substituindo em y e (x,y)=l(3raiztfrac219,tfrac12raiztfrac219r) e (x,y)=l(-3raiztfrac219,-tfrac12raiztfrac219r) , obtemos os pontos críticos

Passo 6

Finalmente, avaliamos f(x,y)=3x+y nesses pontos:
fl(3raiztfrac219,tfrac12raiztfrac219r)=raiz382, fl(-3raiztfrac219,-tfrac12raiztfrac219r)=-raiz382
Logo um é o máximo e o outro o mínimo.

Passo 7

Concluímos que o maior valor de f ocorre em (3raiz2/19,,tfrac12raiz2/19) e o menor em ((-3\sqrt{2/19},-\tfrac12\sqrt{2/19})). Esta avaliação confirma os valores que encontramos.

Resposta

O valor máximo de f é raiz382 e o valor mínimo é -raiz382.

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