Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os alores máximo e mínimo da função sujeita à(s) restrição(ões) dada(s).
f(x, y)=3 x+y ; x^2+2 y^2=1.

Passo 1

Estamos buscando os extremos de f(x,y)=3x+y sob a restrição x^2+2y^2=1. O conteúdo é multiplicadores de Lagrange, e vamos precisar usar a condição nabla f=lambdanabla g, onde g(x,y)=x^2+2y^2-1.

Passo 2

A ideia dos multiplicadores de Lagrange é resolver o sistema dado por
nabla f(x,y)=lambdanabla g(x,y),
juntamente com a própria restrição g(x,y)=0. Isso garante que o ponto crítico satisfaça a restrição e seja candidato a extremo.

Passo 3

Calculamos os gradientes:
nabla f=(partial f/partial x,partial f/partial y)=(3,1),
nabla g=(2x,4y)

Passo 4

Aplicando nabla f=lambdanabla g dá o sistema
3=2lambda x,
1=4lambda y,
e a restrição
x^2+2y^2=1

Passo 5

Do primeiro temos lambda=3/(2x) e do segundo lambda=1/(4y). Igualando as duas expressões:
32x=14yRightarrow12y=2xRightarrow x=6y

Passo 6

Substituímos x=6y na restrição:
(6y)^2+2y^2=1
36y^2+2y^2=38y^2=1
y^2=138Rightarrow y=pm1raiz38

Passo 7

Então
$$
x=6y=\pm\frac{6}{\sqrt{38}}.$$

Passo 8

Para cada ponto avaliamos f(x,y)=3x+y=18y+y=19y:
quando y=1/raiz38 temos f=19/raiz38;
quando y=-1/raiz38 temos f=-19/raiz38.

Passo 9

Comparando, o valor máximo é 19/raiz38 em (6/raiz38,1/raiz38) e o mínimo é -19/raiz38 em (-6/raiz38,-1/raiz38).

Resposta

Máximo de f é 19raiz38 em l(6/raiz38,,1/raiz38r) e mínimo de f é -19raiz38 em (-6/raiz38,-1/raiz38).

Exercícios relacionados