Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os alores máximo e mínimo da função sujeita à(s) restrição(ões) dada(s).
.
Passo 1
Estamos buscando os extremos de
sob a restrição
. O conteúdo é multiplicadores de Lagrange, e vamos precisar usar a condição
, onde
.
Passo 2
A ideia dos multiplicadores de Lagrange é resolver o sistema dado por
juntamente com a própria restrição
Passo 3
Calculamos os gradientes:
Passo 4
Aplicando
dá o sistema
e a restrição
Passo 5
Do primeiro temos
e do segundo
. Igualando as duas expressões:
Passo 6
Substituímos
na restrição:
Passo 7
Então
$$
x=6y=\pm\frac{6}{\sqrt{38}}.$$
Passo 8
Para cada ponto avaliamos
:
quando temos
;
quando temos
.
quando
quando
Passo 9
Comparando, o valor máximo é
em
e o mínimo é
em
.
Resposta
Máximo de
é
em
e mínimo de
é
em
.