Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os alores máximo e mínimo da função sujeita à(s) restrição(ões) dada(s).
* f(x, y, z)=x^2-y z ; x^2+y^2+z^2=1.

Passo 1

O enunciado pede pra gente achar os valores máximo e mínimo de f(x,y,z)=x²−yz sujeitos à restrição x²+y²+z²=1 usando multiplicadores de Lagrange. O conteúdo é otimização com restrição e vamos precisar montar o lagrangiano e resolver as equações de condição de otimalidade.

Passo 2

Definimos o lagrangiano L(x,y,z,λ) e escrevemos suas derivadas parciais:
L(x,y,z,λ)=x²−y z−λ(x²+y²+z²−1)
As condições de otimalidade são ∂L/∂x=0, ∂L/∂y=0, ∂L/∂z=0 e a restrição.

Passo 3

Calculamos as derivadas:
∂L/∂x=2x−2λx=0
∂L/∂y=−z−2λy=0
∂L/∂z=−y−2λz=0
e ainda x²+y²+z²=1.

Passo 4

Analisamos o caso 1: x≠0. Da primeira equação vem 2x(1−λ)=0 ⇒ λ=1. Substituindo em ∂L/∂y e ∂L/∂z:
−z−2y=0 ⇒ z=−2y
−y−2z=0 ⇒ y=−2z
Dessas duas saem y=0, z=0. Então x²=1 ⇒ x=±1 e f=1.

Passo 5

Analisamos o caso 2: x=0. A restrição vira y²+z²=1 e restam
−z−2λy=0 e −y−2λz=0. Dessas duas equações deduzimos z=±y.
Se z=y então λ=−1/2, y²=1/2 e f=0−y²=−1/2.
Se z=−y então λ=1/2, y²=1/2 e f=0−(y)(−y)=+1/2.

Passo 6

Listamos os pontos críticos e valores de f:
(±1,0,0) ⇒ f=1
(0,±1/√2,∓1/√2) ⇒ f=1/2
(0,±1/√2,±1/√2) ⇒ f=−1/2

Passo 7

Concluímos que o valor máximo de f é 1 (em (±1,0,0)) e o valor mínimo de f é −1/2 (em (0,±1/√2,±1/√2) com sinais iguais).

Resposta

Valor máximo de f=1, atingido em (x,y,z)=(±1,0,0); valor mínimo de f=−1/2, atingido em (x,y,z)=(0,±1/√2,±1/√2) com y e z de mesmo sinal.

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