(Leithold página 1011) Determine um valor funcional máximo relativo de f(x, y, z)=x y z com dois vínculos x+y+z=4 e x-y-z=3.

Passo 1

O enunciado pede para maximizar a função
f(x,y,z)=x\,y\,z
sob os vínculos lineares
x+y+z=4,
x-y-z=3.
O conteúdo envolvido é otimização com restrições, e vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange.

Passo 2

Definimos a função de Lagrange
\mathcal{L}(x,y,z,\lambda,\mu)=x\,y\,z-\lambda\,(x+y+z-4)-\mu\,(x-y-z-3).
As condições de extrema sujeitas aos vínculos são
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial x}=0,\quad \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial y}=0,\quad \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial z}=0,
além das igualdades dos próprios vínculos.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero:
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial x}=y\,z-\lambda-\mu=0,
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial y}=x\,z-\lambda+\mu=0,
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial z}=x\,y-\lambda+\mu=0.
Das duas últimas equações vem
x\,z = \lambda-\mu \quad\text{e}\quad x\,y = \lambda-\mu
logo, para x\neq0, concluímos
z = y.

Passo 4

Substituindo z=y nos vínculos lineares:
x+y+z=4\\ \Longrightarrow\\ x+2y=4,
x-y-z=3\\ \Longrightarrow\\ x-2y=3.
Somando as duas equações obtemos 2x=7 e subtraindo obtemos 4y=1. Logo
x=\frac{7}{2},\qquad y=\frac{1}{4},\qquad z=\frac{1}{4}.

Passo 5

Calculamos o valor da função nesse ponto:
f\Bigl(\tfrac{7}{2},\tfrac{1}{4},\tfrac{1}{4}\Bigr) =\frac{7}{2}\cdot\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{4} =\frac{7}{32}.
Este é um ponto crítico. Para ver que é máximo relativo basta notar que, ao manter x fixo e y+z fixo, o produto y\,z é maximizado quando y=z, o que coincide com nossa solução.

Resposta

O valor funcional máximo relativo é
f_{\max}=\frac{7}{32}
no ponto \bigl(x,y,z\bigr)=\bigl(\tfrac{7}{2},\tfrac{1}{4},\tfrac{1}{4}\bigr).

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