(Leithold página 1011) Determine um valor funcional máximo relativo de
com dois vínculos
e
.
Passo 1
O enunciado pede para maximizar a função
sob os vínculos lineares
O conteúdo envolvido é otimização com restrições, e vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange.
Passo 2
Definimos a função de Lagrange
As condições de extrema sujeitas aos vínculos são
além das igualdades dos próprios vínculos.
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero:
Das duas últimas equações vem
logo, para
, concluímos
Passo 4
Substituindo
nos vínculos lineares:
Somando as duas equações obtemos
e subtraindo obtemos
. Logo
Passo 5
Calculamos o valor da função nesse ponto:
Este é um ponto crítico. Para ver que é máximo relativo basta notar que, ao manter
fixo e
fixo, o produto
é maximizado quando
, o que coincide com nossa solução.
Resposta
O valor funcional máximo relativo é
no ponto
.