Questão 5. Calcule a integral indefinida como uma série de potências. Qual é o raio de convergência?
integral t1-t^3 d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida integral t1-t^3,dt usando série de potências e determinar o raio de convergência. Vamos usar expansão em série geométrica e depois integrar termo a termo.

Passo 2

Reconhecemos que 11 - z = sumn=0^infty z^n para |z|<1. Aqui tomamos z = t^3, logo
$$
\frac{t}{1 - t^{3}} = t \sum_{n=0}^{\infty} (t{3}){n} = \sum_{n=0}^{\infty} t^{3n+1},$$
válido para t1 - t^3 = t sumn=0^infty (t^3)^n = sumn=0^infty t^3n+1,, ou seja |t^3|<1.

Passo 3

Agora integramos série de potências termo a termo. Para cada n,
integral t^3n+1,dt = t^3n+23n+2 + Cn
Como somamos sobre n, absorvemos constantes em uma só constante C e obtemos
integral t1 - t^3,dt = sumn=0^infty t^3n+23n+2 + C

Passo 4

O raio de convergência vem da condição |t^3|<1, ou seja |t|<1. Portanto o raio de convergência é 1.

Resposta

sumn=0^infty t^3n+23n+2 + C, R=1.

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