Questão 5. Calcule a integral indefinida como uma série de potências. Qual é o raio de convergência?
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
usando série de potências e determinar o raio de convergência. Vamos usar expansão em série geométrica e depois integrar termo a termo.
Passo 2
Reconhecemos que
para
. Aqui tomamos
, logo
$$
\frac{t}{1 - t^{3}} = t \sum_{n=0}^{\infty} (t{3}){n} = \sum_{n=0}^{\infty} t^{3n+1},$$
válido para , ou seja
.
válido para
Passo 3
Agora integramos série de potências termo a termo. Para cada
,
Como somamos sobre
, absorvemos constantes em uma só constante
e obtemos
Passo 4
O raio de convergência vem da condição
, ou seja
. Portanto o raio de convergência é 1.