5 ^a Lista de MAT 140 - Cálculo I 2019/II Lista elaborada por Lilian Neves Santa Rosa Valentim - DMA/UFV
  1. Determine a derivada de cada função a seguir; resolvendo as partes separadas:
    (a) f(x)=x ln x.

Passo 1

O enunciado pede para determinar a derivada da função f(x)=x
lm
x. O conteúdo aqui é derivada de funções definidas como produto de duas funções; vamos precisar da regra do produto e da derivada de ln
x.

Passo 2

Definimos u(x)=x e v(x)=ln
x. Calculamos as derivadas de cada uma: u’(x)=1, pois a derivada de x é 1; e v’(x)=1/x, pois sabemos que ddx[ln x]=1x.

Passo 3

Aplicamos a regra do produto, que diz:
f'(x)=u'(x)cdot v(x)+u(x)cdot v'(x)

Passo 4

Substituindo u, v e suas derivadas, obtemos:
f'(x)=1cdotln x + xcdot1x

Passo 5

Agora simplificamos a expressão: x·(1/x)=1, logo f’(x)=ln
x+1.

Resposta

f’(x)=\ln x + 1

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