OI - DETERMINE O ROTACIONAL E O DIVERGENTE DOS SEGUINTES CAMPOS VETORIAIS
(b) F(x, y, z)=x e^y i+y e^z k

Passo 1

Beleza, vamos resolver um exercício de campos vetoriais! A gente precisa encontrar o rotacional (também conhecido como curl) e o divergente (ou divergência) do campo vetorial dado por:
F(x, y, z) = x e^y , i + y e^z , k
Para isso, vamos usar o que aprendemos sobre cálculo vetorial, especificamente sobre como calcular o rotacional e a divergência de um campo vetorial. Vamos seguir passo a passo para facilitar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o rotacional de um campo vetorial. O rotacional mede a tendência do campo vetorial de girar em torno de um ponto. Matematicamente, para um campo nabla times F = ( partial Rpartial y - partial Qpartial z ) i + ( partial Ppartial z - partial Rpartial x ) j + ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) k , o rotacional é dado por:
No nosso caso, , então , , e .

Passo 3

Vamos calcular cada componente do rotacional:
  1. Componente partial Rpartial y - partial Qpartial z = partial (y e^z)partial y - partial (0)partial z = e^z - 0 = e^z :
partial Ppartial z - partial Rpartial x = partial (x e^y)partial z - partial (y e^z)partial x = 0 - 0 = 0
  1. Componente partial Qpartial x - partial Ppartial y = partial (0)partial x - partial (x e^y)partial y = 0 - x e^y = -x e^y :
nabla times F = e^z i + 0 j - x e^y k
  1. Componente :
Então, o rotacional é:

Passo 4

Agora, vamos calcular o divergente do campo vetorial. A divergência nos diz como o campo está “se expandindo” em um ponto. Para um campo nabla cdot F = partial Ppartial x + partial Qpartial y + partial Rpartial z , a divergência é:
Usando nossos valores, , , e .

Passo 5

Vamos calcular cada termo da divergência:
  1. Termo partial (x e^y)partial x = e^y :
partial (0)partial y = 0
  1. Termo partial (y e^z)partial z = y e^z :
nabla cdot F = e^y + 0 + y e^z = e^y + y e^z
  1. Termo :
Somando tudo:

Resposta

O rotacional do campo vetorial é:
nabla times F = e^z , i - x e^y , k
E a divergência do campo vetorial é:
nabla cdot F = e^y + y e^z

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