OI - DETERMINE O ROTACIONAL E O DIVERGENTE DOS SEGUINTES CAMPOS VETORIAIS
(b)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver um exercício de campos vetoriais! A gente precisa encontrar o rotacional (também conhecido como curl) e o divergente (ou divergência) do campo vetorial dado por:
Para isso, vamos usar o que aprendemos sobre cálculo vetorial, especificamente sobre como calcular o rotacional e a divergência de um campo vetorial. Vamos seguir passo a passo para facilitar.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o rotacional de um campo vetorial. O rotacional mede a tendência do campo vetorial de girar em torno de um ponto. Matematicamente, para um campo
, o rotacional é dado por:
No nosso caso,
, então
,
, e
.
Passo 3
Vamos calcular cada componente do rotacional:
- Componente
:
- Componente
:
- Componente
:
Então, o rotacional é:
Passo 4
Agora, vamos calcular o divergente do campo vetorial. A divergência nos diz como o campo está “se expandindo” em um ponto. Para um campo
, a divergência é:
Usando nossos valores,
,
, e
.
Passo 5
Vamos calcular cada termo da divergência:
- Termo
:
- Termo
:
- Termo
:
Somando tudo:
Resposta
O rotacional do campo vetorial é:
E a divergência do campo vetorial é: