Utilize multiplicadores de Lagrange para encontrar os valores máximo e mínimo da função
sujeita à restrição dada.
(d)
(d)
Passo 1
O enunciado pede para usar multiplicadores de Lagrange para achar extremos de
sujeito à restrição
O conteúdo aqui é o método de Lagrange: montar
e resolver o sistema das derivadas parciais nulas.
Passo 2
Escrevendo a função de Lagrange:
As condições de estacionaridade são
juntamente com a restrição
.
Passo 3
Das três primeiras equações temos
Como
, a primeira vira
. Pelas outras obtemos
. Logo
Passo 4
Temos duas possibilidades de sinais para
:
- Todos têm o mesmo sinal: então
e da restrição segue . Assim um ponto crítico é
- Dois negativos e um positivo (ou vice-versa): por simetria digamos
. Daí
e
,
. Pelas permutações de quais são negativos, obtemos quatro pontos críticos no total:
Passo 5
Em cada ponto
. Para ver que isso é mínimo, usamos a desigualdade AM–GM sobre
:
logo
. Não há máximo global porque o conjunto
não é compacto e
quando alguma coordenada cresce sem limite.
Resposta
O valor mínimo de
é
, obtido em
,
,
e
.
Não há valor máximo.
Não há valor máximo.