Utilize multiplicadores de Lagrange para encontrar os valores máximo e mínimo da função f sujeita à restrição dada.
(c) f(x, y)=e^{x y}, x^{4}+y^{4}=32

Passo 1

O enunciado pede para usar multiplicadores de Lagrange para encontrar máximos e mínimos de
f(x,y)=e^{xy}
sujeito à restrição
x^{4}+y^{4}=32.
O que precisamos é montar a função de Lagrange e resolver o sistema
\nabla f = \lambda\,\nabla g,\quad g(x,y)=x^{4}+y^{4}-32=0.

Passo 2

Formamos a Lagrangiana
\mathcal{L}(x,y,\lambda)=e^{xy}-\lambda\,(x^{4}+y^{4}-32)
e impomos
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x}=y\,e^{xy}-\lambda\,4x^{3}=0,
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y}=x\,e^{xy}-\lambda\,4y^{3}=0,
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \lambda}=-(x^{4}+y^{4}-32)=0.

Passo 3

Para eliminar \lambda e e^{xy}, dividimos a primeira equação pela segunda:
\frac{y\,e^{xy}}{x\,e^{xy}} =\frac{4x^{3}}{4y^{3}} \quad\Longrightarrow\quad \frac{y}{x}=\frac{x^{3}}{y^{3}} \quad\Longrightarrow\quad y^{4}=x^{4} \quad\Longrightarrow\quad y=\pm x.

Passo 4

Substituímos y=x na restrição:
x^{4}+x^{4}=32 \quad\Longrightarrow\quad 2x^{4}=32 \quad\Longrightarrow\quad x^{4}=16 \quad\Longrightarrow\quad x=\pm2,
logo (x,y)=(2,2) ou (-2,-2).
Se y=-x, temos a mesma equação 2x^{4}=32, então (x,y)=(2,-2) ou (-2,2).

Passo 5

Avaliamo-s f(x,y)=e^{xy} nos quatro pontos:
f(2,2)=e^{4},\quad f(-2,-2)=e^{4},
f(2,-2)=e^{-4},\quad f(-2,2)=e^{-4}.
Portanto e^{4} é o maior valor e e^{-4} é o menor.

Passo 6

Como a curva x^{4}+y^{4}=32 é compacta e f é contínua, esses quatro pontos cobrem todos os extremos sob a restrição.

Resposta

O valor máximo é e^{4}, obtido em (2,2) e em (-2,-2).
O valor mínimo é e^{-4}, obtido em (2,-2) e em (-2,2).

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