Utilize multiplicadores de Lagrange para encontrar os valores máximo e mínimo da função f sujeita à restrição dada.
(d) f(x, y, z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}, \quad x y z=1

Passo 1

O enunciado pede para usar multiplicadores de Lagrange para achar extremos de
f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}
sujeito à restrição
g(x,y,z)=x\,y\,z-1=0.
O conteúdo aqui é o método de Lagrange: montar
\mathcal{L}(x,y,z,\lambda)=f(x,y,z)-\lambda\,g(x,y,z)
e resolver o sistema das derivadas parciais nulas.

Passo 2

Escrevendo a função de Lagrange:
\mathcal{L}(x,y,z,\lambda) = x^{2}+y^{2}+z^{2} - \lambda\,(x\,y\,z-1).
As condições de estacionaridade são
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial x}=2x-\lambda\,y\,z=0, \quad \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial y}=2y-\lambda\,x\,z=0, \quad \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial z}=2z-\lambda\,x\,y=0,
juntamente com a restrição x\,y\,z=1.

Passo 3

Das três primeiras equações temos
2x=\lambda\,y\,z,\quad 2y=\lambda\,x\,z,\quad 2z=\lambda\,x\,y.
Como y\,z=1/x, a primeira vira \lambda=2x^{2}. Pelas outras obtemos \lambda=2y^{2}=2z^{2}. Logo
x^{2}=y^{2}=z^{2}.

Passo 4

Temos duas possibilidades de sinais para (x,y,z):
  1. Todos têm o mesmo sinal: então x=y=z e da restrição x^{3}=1 segue x=1. Assim um ponto crítico é
(1,1,1).
  1. Dois negativos e um positivo (ou vice-versa): por simetria digamos x=y=-z. Daí
x\,y\,z = x^{2}(-x)=-x^{3}=1 \implies x^{3}=-1 \implies x=-1,
e y=-1, z=1. Pelas permutações de quais são negativos, obtemos quatro pontos críticos no total:
(1,1,1),\;(-1,-1,1),\;(-1,1,-1),\;(1,-1,-1).

Passo 5

Em cada ponto f=x^{2}+y^{2}+z^{2}=1+1+1=3. Para ver que isso é mínimo, usamos a desigualdade AM–GM sobre x^{2},y^{2},z^{2}:
\frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{3}\;\ge\;(x^{2}y^{2}z^{2})^{1/3} =(xyz)^{2/3}=1,
logo f\ge3. Não há máximo global porque o conjunto \{(x,y,z)\mid xyz=1\} não é compacto e f\to\infty quando alguma coordenada cresce sem limite.

Resposta

O valor mínimo de f é 3, obtido em (1,1,1), (-1,-1,1), (-1,1,-1) e (1,-1,-1).
Não há valor máximo.

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