Utilize uma parametrização para expressar a área da superficie como uma integral dupla. Em seguida, calcule a integral.
Faixa esférica A porção da esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=4 entre os planos z=-1 e z=\sqrt{3}.

Passo 1

O enunciado pede a área da porção da esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=4 que fica entre os planos z=-1 e z=\sqrt{3}. O conteúdo aqui é cálculo de área de superfície por parametrização esférica. Vamos usar coordenadas esféricas com raio fixo R=2, escrever a parametrização, obter o elemento de área e montar uma integral dupla.

Passo 2

Em coordenadas esféricas, usamos
x=2\sin\varphi\cos\theta,\quad y=2\sin\varphi\sin\theta,\quad z=2\cos\varphi,
com \theta\in[0,2\pi] e \varphi a determinar pelos planos.
Para z=-1 temos
2\cos\varphi=-1\implies\cos\varphi=-\tfrac12\implies\varphi=\tfrac{2\pi}{3},
e para z=\sqrt3
2\cos\varphi=\sqrt3\implies\cos\varphi=\tfrac{\sqrt3}{2}\implies\varphi=\tfrac{\pi}{6}.
Logo \varphi\in\bigl[\tfrac{\pi}{6},\,\tfrac{2\pi}{3}\bigr].

Passo 3

O elemento de área da esfera de raio 2 é
\mathrm{d}S=R^{2}\sin\varphi\,\mathrm{d}\varphi\,\mathrm{d}\theta =4\sin\varphi\,\mathrm{d}\varphi\,\mathrm{d}\theta.
Assim a área A vale
A=\int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{\varphi=\pi/6}^{2\pi/3}4\sin\varphi\,\mathrm{d}\varphi\,\mathrm{d}\theta.

Passo 4

Calculando a integral interna em \varphi:
\int_{\pi/6}^{2\pi/3}4\sin\varphi\,\mathrm{d}\varphi =4\bigl[-\cos\varphi\bigr]_{\pi/6}^{2\pi/3} =4\bigl(-\cos\tfrac{2\pi}{3}+\cos\tfrac{\pi}{6}\bigr) =4\bigl(-(-\tfrac12)+\tfrac{\sqrt3}{2}\bigr) =4\bigl(\tfrac12+\tfrac{\sqrt3}{2}\bigr) =2(1+\sqrt3).
Multiplicando pelo \theta-integral de 0 a 2\pi
A=2\pi\cdot2(1+\sqrt3)=4\pi\bigl(1+\sqrt3\bigr).

Resposta

A área da faixa esférica é
4\pi\bigl(1+\sqrt3\bigr).

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