6.Uma elipse não degenerada \mathcal{E} divide o plano em três subconjuntos disjuntos: a própria elipse;a região delimitada por \mathcal{E} que contém o centro e os focos, denominada região focal, \mathcal{R}_{f} ,e a região que não contém o centro,a região não focal, \mathcal{R}_{n f}
Seja \mathcal{E}: A x^{2}+C y^{2}+D x+E y+F=0 uma elipse.Caracterize os conjuntos \mathcal{R}_{f} e \mathcal{R}_{n f} mediante uma desigualdade nas variáveis x e y

Passo 1

O enunciado fornece a elipse não degenerada
\mathcal{E}:\;Q(x,y)=A x^{2}+C y^{2}+D x+E y+F=0,
com A e C de mesmo sinal (digamos positivos) e pede separar o plano em:
– a própria curva \mathcal{E},
– a região interior que contém o centro e os focos ( \mathcal{R}_{f}),
– a região exterior ( \mathcal{R}_{nf}).
Vamos caracterizar \mathcal{R}_{f} e \mathcal{R}_{nf} por desigualdades em Q(x,y).

Passo 2

Encontre o centro completando o quadrado.
Defina
x_{0}=-\frac{D}{2A}, \quad y_{0}=-\frac{E}{2C}.
Reescrevendo Q(x,y) em torno de (x_{0},y_{0}), obtemos
Q(x,y) = A\bigl(x-x_{0}\bigr)^{2} + C\bigl(y-y_{0}\bigr)^{2} +T,
onde
T =F - \frac{D^{2}}{4A} - \frac{E^{2}}{4C}.
A condição de elipse não degenerada implica T<0.

Passo 3

Note que em (x_{0},y_{0}) vale
Q(x_{0},y_{0})=T<0,
ou seja, o centro pertence ao conjunto \{Q<0\}. Como Q(x,y)=0 é a fronteira (a própria elipse), concluímos que:
– os pontos com Q(x,y)<0 formam a região interior que contém centro e focos;
– os pontos com Q(x,y)>0 formam a região exterior.

Resposta

\displaystyle \mathcal{R}_{f}=\bigl\{(x,y)\mid A x^{2}+C y^{2}+D x+E y+F<0\bigr\}
\displaystyle \mathcal{R}_{nf}=\bigl\{(x,y)\mid A x^{2}+C y^{2}+D x+E y+F>0\bigr\}

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