6.Uma elipse não degenerada
divide o plano em três subconjuntos disjuntos: a própria elipse;a região delimitada por
que contém o centro e os focos, denominada região focal,
,e a região que não contém o centro,a região não focal,
.
Seja
uma elipse.Caracterize os conjuntos
e
mediante uma desigualdade nas variáveis
e
.
Passo 1
O enunciado fornece a elipse não degenerada
com
e
de mesmo sinal (digamos positivos) e pede separar o plano em:
– a própria curva ,
– a região interior que contém o centro e os focos ( ),
– a região exterior ( ).
Vamos caracterizar e
por desigualdades em
.
– a própria curva
– a região interior que contém o centro e os focos (
– a região exterior (
Vamos caracterizar
Passo 2
Encontre o centro completando o quadrado.
Defina
Defina
Reescrevendo
em torno de
, obtemos
onde
A condição de elipse não degenerada implica
.
Passo 3
Note que em
vale
ou seja, o centro pertence ao conjunto
. Como
é a fronteira (a própria elipse), concluímos que:
– os pontos com formam a região interior que contém centro e focos;
– os pontos com formam a região exterior.
– os pontos com
– os pontos com