7.O complementar de uma reta no plano consiste de dois semiplanos locali- zados em lados opostos da reta.Se
é a equação da reta, os semiplanos determinados por
são caracterizados pelas desigualdades
e
.Mostre que
é o semiplano para o qual o vetor
,normal à reta
,aponta.
Passo 1
O enunciado dá a reta
e define os dois semiplanos
Queremos mostrar que o vetor normal
“aponta” para o semiplano
.
Passo 2
Escolhemos um ponto qualquer
sobre a reta
, ou seja, tal que
Como
, esse ponto existe. Agora vamos mover-nos a partir de
na direção do vetor
.
Passo 3
Definimos a parametrização da reta normal a
que parte de
:
Substituímos em
:
Passo 4
Como
, para todo
temos
Isto significa que, ao avançar de
na direção de
, ficamos sempre no conjunto
. Logo, o vetor normal
aponta exatamente para esse semiplano.
Resposta
Mostramos que ao deslocar-se na direção de
a partir de qualquer ponto da reta
, fica-se no conjunto
. Portanto, esse é o semiplano apontado por
.