7.O complementar de uma reta no plano consiste de dois semiplanos locali- zados em lados opostos da reta.Se r: a x+b y=c é a equação da reta, os semiplanos determinados por r são caracterizados pelas desigualdades a x+b y<c e a x+b y>c .Mostre que \left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} ; a x+b y>c\right\} é o semiplano para o qual o vetor (a, b) ,normal à reta r ,aponta.

Passo 1

O enunciado dá a reta
r: a x + b y = c
e define os dois semiplanos
\{(x,y)\mid a x + b y < c\} \quad\text{e}\quad \{(x,y)\mid a x + b y > c\}.
Queremos mostrar que o vetor normal (a,b) “aponta” para o semiplano
\{(x,y)\mid a x + b y > c\}.

Passo 2

Escolhemos um ponto qualquer (x_{0},y_{0}) sobre a reta r, ou seja, tal que
a x_{0}+b y_{0}=c.
Como (a,b)\neq(0,0), esse ponto existe. Agora vamos mover-nos a partir de (x_{0},y_{0}) na direção do vetor (a,b).

Passo 3

Definimos a parametrização da reta normal a r que parte de (x_{0},y_{0}):
P(t) = (x_{0},y_{0}) + t\,(a,b) = (\,x_{0}+t\,a\,,\,y_{0}+t\,b\,).
Substituímos em a x + b y:
a\,(x_{0}+t a) + b\,(y_{0}+t b) = (a x_{0}+b y_{0}) + t\,(a^{2}+b^{2}) = c + t\,(a^{2}+b^{2}).

Passo 4

Como a^{2}+b^{2}>0, para todo t>0 temos
a\,(x_{0}+t a) + b\,(y_{0}+t b) = c + t\,(a^{2}+b^{2}) > c.
Isto significa que, ao avançar de (x_{0},y_{0}) na direção de (a,b), ficamos sempre no conjunto \{(x,y)\mid a x + b y > c\}. Logo, o vetor normal (a,b) aponta exatamente para esse semiplano.

Resposta

Mostramos que ao deslocar-se na direção de (a,b) a partir de qualquer ponto da reta r, fica-se no conjunto \{(x,y)\mid a x + b y > c\}. Portanto, esse é o semiplano apontado por (a,b).

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