Determine/ calcule:
Passo 1
O enunciado pede claramente: calcular
. Do enunciado e da imagem eu extraí as seguintes informações relevantes (peguei estes dados da imagem):
- A curva desenhada no gráfico está rotulada como
no eixo vertical; o enunciado usa . Vou assumir que é a mesma função do gráfico (ou seja, ), pois só assim o problema faz sentido com a figura. - Para valores muito à esquerda (valores de
muito negativos) o gráfico apresenta um ramo de parábola com as “pontas” voltadas para cima (ou seja, a curva tem formato de parábola cujo mínimo está à esquerda e as caudas para ). - À direita do gráfico há outros trechos (reta inclinada e trechos constantes), mas esses não são relevantes para o comportamento quando
.
Passo 2
O que significa responder
ou
?
- Se
com finito, isso quer dizer que quando vai para os valores se aproximam cada vez mais de . - Se
, isso quer dizer que os valores de crescem sem limite quando fica cada vez mais negativo. Formalmente: para todo existe tal que, se , então .
Passo 3
Como identificar o comportamento no infinito a partir do formato do gráfico?
- Para funções que são parábolas (polinômios quadráticos do tipo
), o termo de maior grau domina o comportamento para grande. Se o coeficiente (parábola “para cima”), então tanto quando quanto quando a função tende a . - Um exemplo simples e concreto que ajuda a fixar a ideia: considere
. Para muito negativo, é muito grande e positivo; formalmente . A demonstração rápida: dado , escolha . Se então e assim , logo .
Passo 4
Aplicando isso ao gráfico (usei a observação da imagem feita no Passo 1):
- A porção da esquerda do gráfico tem claramente formato de parábola com as caudas para cima (ou seja, é um ramo de função quadrática com coeficiente líder positivo). Portanto, quando
vai para essa parte da curva cresce para valores cada vez maiores e positivos. - Pelo conceito explicado no Passo 2, isso significa que
não se aproxima de um número finito quando ; em vez disso, cresce sem limite superior.
Passo 5
Conclusão final (resposta do problema): com base no formato da curva à esquerda (parábola “para cima”), tem-se