Determine/ calcule:
\lim _{x \rightarrow-\infty} m(x)=

Passo 1

O enunciado pede claramente: calcular \lim_{x\to -\infty} m(x). Do enunciado e da imagem eu extraí as seguintes informações relevantes (peguei estes dados da imagem):
  • A curva desenhada no gráfico está rotulada como f(x) no eixo vertical; o enunciado usa m(x). Vou assumir que m(x) é a mesma função do gráfico (ou seja, m(x)=f(x)), pois só assim o problema faz sentido com a figura.
  • Para valores muito à esquerda (valores de x muito negativos) o gráfico apresenta um ramo de parábola com as “pontas” voltadas para cima (ou seja, a curva tem formato de parábola cujo mínimo está à esquerda e as caudas para +\infty).
  • À direita do gráfico há outros trechos (reta inclinada e trechos constantes), mas esses não são relevantes para o comportamento quando x\to -\infty.

Passo 2

O que significa responder \lim_{x\to -\infty} m(x)=L ou \lim_{x\to -\infty} m(x)=+\infty?
  • Se \lim_{x\to -\infty} m(x)=L com L finito, isso quer dizer que quando x vai para -\infty os valores m(x) se aproximam cada vez mais de L.
  • Se \lim_{x\to -\infty} m(x)=+\infty, isso quer dizer que os valores de m(x) crescem sem limite quando x fica cada vez mais negativo. Formalmente: para todo M>0 existe X tal que, se x<X, então m(x)>M.

Passo 3

Como identificar o comportamento no infinito a partir do formato do gráfico?
  • Para funções que são parábolas (polinômios quadráticos do tipo ax^2+bx+c), o termo de maior grau domina o comportamento para |x| grande. Se o coeficiente a>0 (parábola “para cima”), então tanto quando x\to+\infty quanto quando x\to-\infty a função tende a +\infty.
  • Um exemplo simples e concreto que ajuda a fixar a ideia: considere g(x)=x^2. Para x muito negativo, x^2 é muito grande e positivo; formalmente \lim_{x\to -\infty} x^2 = +\infty. A demonstração rápida: dado M>0, escolha X=-\sqrt{M}. Se x<X então |x|> \sqrt{M} e assim x^2>|x|^2>M, logo x^2>M.

Passo 4

Aplicando isso ao gráfico (usei a observação da imagem feita no Passo 1):
  • A porção da esquerda do gráfico tem claramente formato de parábola com as caudas para cima (ou seja, é um ramo de função quadrática com coeficiente líder positivo). Portanto, quando x vai para -\infty essa parte da curva cresce para valores cada vez maiores e positivos.
  • Pelo conceito explicado no Passo 2, isso significa que m(x) não se aproxima de um número finito quando x\to -\infty; em vez disso, cresce sem limite superior.

Passo 5

Conclusão final (resposta do problema): com base no formato da curva à esquerda (parábola “para cima”), tem-se
\lim_{x\to -\infty} m(x)=+\infty.

Resposta

+\infty

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