Considere a função f definida por:
(a) f(x)=\frac{x^{2}}{3+x^{2}}
(b) f(x)=x e^{-2 x}
(c) f(x)=e^{2 x}+e^{-x}
(d) f(x)=2 x^{3}+3 x^{2}-36 x
(e) f(x)=x^{4}-2 x^{2}+3
(f) f(x)=x^{2} \ln x
(g) f(x)=\sqrt{x} e^{-x}
(h) f(x)=\frac{x^{2}}{x-1}
i. Determine os intervalos nos quais f é crescente ou decrescente.
ii. Determine os pontos críticos de f.
iii. Determine os pontos onde f atinge seu máximo ou mínimo relativo.
iv. Determine os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.

Passo 1

O enunciado apresenta oito funções (de (a) a (h)) e pede, para cada uma:
i. intervalos de crescimento e de decrescimento;
ii. pontos críticos;
iii. máximos e mínimos relativos;
iv. intervalos de concavidade e pontos de inflexão.
O conteúdo envolve derivadas primeira e segunda, teste da primeira derivada para monotonicidade e teste da segunda derivada para concavidade.

Passo 2

Em geral, para cada f:
  1. Calculo \,f'(x) e resolvo \,f'(x)=0 (e verifico onde f' é indefinida) para achar pontos críticos.
  2. Analiso o sinal de f'(x) em cada intervalo determinado por esses pontos críticos para classificar onde f é crescente f'>0 ou decrescente f'<0.
  3. Pelo teste da primeira derivada, identifico máximos (de muda de + para -) e mínimos (de muda de - para +).
  4. Calculo \,f''(x) e resolvo \,f''(x)=0 (e pontos de indeterminação) para possíveis pontos de inflexão.
  5. Analiso o sinal de f''(x) para determinar concavidade para cima f''>0 ou para baixo f''<0, e confirmo inflexão onde f'' troca de sinal.

Passo 3

Função (a) f(x)=\frac{x^{2}}{3+x^{2}}.
f'(x)=\frac{6x}{(3+x^{2})^{2}}
De f'(x)=0 vem x=0. Como (3+x^{2})^{2}>0 sempre, f'(x)<0 em (-\infty,0) e f'(x)>0 em (0,\infty). Logo f decresce em (-\infty,0) e cresce em (0,\infty), com ponto crítico x=0 que é mínimo relativo f'\colon -\to+.
f''(x)=\frac{18\,(1-x^{2})}{(3+x^{2})^{3}}
f''>0 para |x|<1 (concavidade para cima) e f''<0 para |x|>1 (concavidade para baixo). Pontos de inflexão em x=\pm1.

Passo 4

Função (b) f(x)=x\,e^{-2x}.
f'(x)=e^{-2x}(1-2x),\quad f'(x)=0\Rightarrow x=\tfrac12.
Temos f'>0 em (-\infty,\tfrac12) e f'<0 em (\tfrac12,\infty). O ponto crítico x=\tfrac12 é máximo relativo.
f''(x)=4(x-1)e^{-2x},
logo f''<0 para x<1 (concava para baixo) e f''>0 para x>1 (concava para cima). Ponto de inflexão em x=1.

Passo 5

Função (c) f(x)=e^{2x}+e^{-x}.
f'(x)=2e^{2x}-e^{-x},\quad f'(x)=0\Rightarrow x=-\tfrac13\ln2.
Temos f'<0 em \bigl(-\infty,-\tfrac13\ln2\bigr) e f'>0 em \bigl(-\tfrac13\ln2,\infty\bigr), logo ponto crítico em x=-\tfrac13\ln2 é mínimo relativo.
f''(x)=4e^{2x}+e^{-x}>0\quad\forall x,
ou seja, f é sempre côncava para cima e não há inflexão.

Passo 6

Função (d) f(x)=2x^{3}+3x^{2}-36x.
f'(x)=6(x+3)(x-2),
raiz em x=-3,2. f'>0 em (-\infty,-3)\cup(2,\infty), f'<0 em (-3,2). Então x=-3 é máximo relativo e x=2 é mínimo relativo.
f''(x)=12x+6,
zerando em x=-\tfrac12. Para x<-\tfrac12, f''<0 (concava para baixo); para x>-\tfrac12, f''>0 (concava para cima). Inflexão em x=-\tfrac12.

Passo 7

Função (e) f(x)=x^{4}-2x^{2}+3.
f'(x)=4x(x-1)(x+1),
pontos críticos x=-1,0,1. Sinal de f' dá crescimento em (-1,0) e (1,\infty), decrescimento em (-\infty,-1) e (0,1). Logo mínimos relativos em x=-1,1 e máximo relativo em x=0.
f''(x)=12x^{2}-4=4(3x^{2}-1),
zerando em x=\pm\frac1{\sqrt3}. Concava para baixo em (-\frac1{\sqrt3},\frac1{\sqrt3}) e para cima em (-\infty,-\frac1{\sqrt3})\cup(\frac1{\sqrt3},\infty). Inflexões em x=\pm\frac1{\sqrt3}.

Passo 8

Função (f) f(x)=x^{2}\ln x, domínio (0,\infty).
f'(x)=x(2\ln x+1),\quad f'(x)=0\Rightarrow x=e^{-\tfrac12}.
Temos decresce em (0,e^{-\tfrac12}) e cresce em (e^{-\tfrac12},\infty), com mínimo relativo em x=e^{-\tfrac12}.
f''(x)=2\ln x+3,
zerando em x=e^{-\tfrac32}. Concava para baixo em (0,e^{-\tfrac32}) e para cima em (e^{-\tfrac32},\infty). Inflexão em x=e^{-\tfrac32}.

Passo 9

Função (g) f(x)=\sqrt{x}\,e^{-x}, domínio [0,\infty).
f'(x)=e^{-x}x^{-\tfrac12}\Bigl(\tfrac12 -x\Bigr),\quad f'(x)=0\Rightarrow x=\tfrac12.
Cresce em (0,\tfrac12), decresce em (\tfrac12,\infty). Máximo relativo em x=\tfrac12.
f''(x)=e^{-x}\bigl(x^{\tfrac12}-x^{-\tfrac12}-\tfrac14x^{-\tfrac32}\bigr),
que muda de sinal em x=\frac{1+\sqrt2}2. Portanto concava para baixo em \bigl(0,\frac{1+\sqrt2}2\bigr) e para cima em \bigl(\frac{1+\sqrt2}2,\infty\bigr). Inflexão em x=\tfrac{1+\sqrt2}2.

Passo 10

Função (h) f(x)=\frac{x^{2}}{x-1}, domínio x\neq1.
f'(x)=\frac{x(x-2)}{(x-1)^{2}},\quad f'(x)=0\Rightarrow x=0\text{ ou }x=2.
Como denominador é positivo, f'>0 em (-\infty,0)\cup(2,\infty) e f'<0 em (0,1)\cup(1,2). Logo máximo relativo em x=0 e mínimo relativo em x=2.
f''(x)=\frac{2}{(x-1)^{3}},
que é negativa para x<1 (concava para baixo) e positiva para x>1 (concava para cima). Não há ponto de inflexão em x=1 pois não faz parte do domínio.

Resposta

(a) crescente em (0,\infty), decrescente em (-\infty,0); ponto crítico 0 (mínimo); concava para cima em (-1,1), para baixo em (-\infty,-1)\cup(1,\infty); inflexões em x=\pm1.
(b) crescente em (-\infty,\tfrac12), decrescente em (\tfrac12,\infty); ponto crítico \tfrac12 (máximo); concava para baixo em (-\infty,1), para cima em (1,\infty); inflexão em x=1.
(c) crescente em \bigl(-\tfrac13\ln2,\infty\bigr), decrescente em \bigl(-\infty,-\tfrac13\ln2\bigr); ponto crítico -\tfrac13\ln2 (mínimo); sempre côncava para cima; sem inflexões.
(d) crescente em (-\infty,-3)\cup(2,\infty), decrescente em (-3,2); pontos críticos -3 (máx), 2 (mín); concava para baixo em (-\infty,-\tfrac12), para cima em (-\tfrac12,\infty); inflexão em x=-\tfrac12.
(e) crescente em (-1,0)\cup(1,\infty), decrescente em (-\infty,-1)\cup(0,1); pontos críticos -1,1 (mínimos), 0 (máx); concava para baixo em \bigl(-\tfrac1{\sqrt3},\tfrac1{\sqrt3}\bigr), para cima em (-\infty,-\tfrac1{\sqrt3})\cup(\tfrac1{\sqrt3},\infty); inflexões em x=\pm\tfrac1{\sqrt3}.
(f) crescente em (e^{-\tfrac12},\infty), decrescente em (0,e^{-\tfrac12}); ponto crítico x=e^{-\tfrac12} (mín); concava para baixo em (0,e^{-\tfrac32}), para cima em (e^{-\tfrac32},\infty); inflexão em x=e^{-\tfrac32}.
(g) crescente em (0,\tfrac12), decrescente em (\tfrac12,\infty); ponto crítico x=\tfrac12 (máx); concava para baixo em \bigl(0,\tfrac{1+\sqrt2}2\bigr), para cima em \bigl(\tfrac{1+\sqrt2}2,\infty\bigr); inflexão em x=\tfrac{1+\sqrt2}2.
(h) crescente em (-\infty,0)\cup(2,\infty), decrescente em (0,1)\cup(1,2); pontos críticos 0 (máx), 2 (mín); concava para baixo em (-\infty,1), para cima em (1,\infty); sem inflexões no domínio.

Exercícios relacionados