Considere a função
definida por:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
i. Determine os intervalos nos quais
é crescente ou decrescente.
ii. Determine os pontos críticos de
.
iii. Determine os pontos onde
atinge seu máximo ou mínimo relativo.
iv. Determine os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
i. Determine os intervalos nos quais
ii. Determine os pontos críticos de
iii. Determine os pontos onde
iv. Determine os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
Passo 1
O enunciado apresenta oito funções (de (a) a (h)) e pede, para cada uma:
i. intervalos de crescimento e de decrescimento;
ii. pontos críticos;
iii. máximos e mínimos relativos;
iv. intervalos de concavidade e pontos de inflexão.
O conteúdo envolve derivadas primeira e segunda, teste da primeira derivada para monotonicidade e teste da segunda derivada para concavidade.
i. intervalos de crescimento e de decrescimento;
ii. pontos críticos;
iii. máximos e mínimos relativos;
iv. intervalos de concavidade e pontos de inflexão.
O conteúdo envolve derivadas primeira e segunda, teste da primeira derivada para monotonicidade e teste da segunda derivada para concavidade.
Passo 2
Em geral, para cada
:
- Calculo
e resolvo (e verifico onde é indefinida) para achar pontos críticos. - Analiso o sinal de
em cada intervalo determinado por esses pontos críticos para classificar onde é crescente ou decrescente . - Pelo teste da primeira derivada, identifico máximos (de muda de
para ) e mínimos (de muda de para ). - Calculo
e resolvo (e pontos de indeterminação) para possíveis pontos de inflexão. - Analiso o sinal de
para determinar concavidade para cima ou para baixo , e confirmo inflexão onde troca de sinal.
Passo 3
Função (a)
.
De
vem
. Como
sempre,
em
e
em
. Logo
decresce em
e cresce em
, com ponto crítico
que é mínimo relativo
.
Aí
para
(concavidade para cima) e
para
(concavidade para baixo). Pontos de inflexão em
.
Passo 4
Função (b)
.
Temos
em
e
em
. O ponto crítico
é máximo relativo.
logo
para
(concava para baixo) e
para
(concava para cima). Ponto de inflexão em
.
Passo 5
Função (c)
.
Temos
em
e
em
, logo ponto crítico em
é mínimo relativo.
ou seja,
é sempre côncava para cima e não há inflexão.
Passo 6
Função (d)
.
raiz em
.
em
,
em
. Então
é máximo relativo e
é mínimo relativo.
zerando em
. Para
,
(concava para baixo); para
,
(concava para cima). Inflexão em
.
Passo 7
Função (e)
.
pontos críticos
. Sinal de
dá crescimento em
e
, decrescimento em
e
. Logo mínimos relativos em
e máximo relativo em
.
zerando em
. Concava para baixo em
e para cima em
. Inflexões em
.
Passo 8
Função (f)
, domínio
.
Temos decresce em
e cresce em
, com mínimo relativo em
.
zerando em
. Concava para baixo em
e para cima em
. Inflexão em
.
Passo 9
Função (g)
, domínio
.
Cresce em
, decresce em
. Máximo relativo em
.
que muda de sinal em
. Portanto concava para baixo em
e para cima em
. Inflexão em
.
Passo 10
Função (h)
, domínio
.
Como denominador é positivo,
em
e
em
. Logo máximo relativo em
e mínimo relativo em
.
que é negativa para
(concava para baixo) e positiva para
(concava para cima). Não há ponto de inflexão em
pois não faz parte do domínio.
Resposta
(a) crescente em
, decrescente em
; ponto crítico
(mínimo); concava para cima em
, para baixo em
; inflexões em
.
(b) crescente em , decrescente em
; ponto crítico
(máximo); concava para baixo em
, para cima em
; inflexão em
.
(c) crescente em , decrescente em
; ponto crítico
(mínimo); sempre côncava para cima; sem inflexões.
(d) crescente em , decrescente em
; pontos críticos
(máx),
(mín); concava para baixo em
, para cima em
; inflexão em
.
(e) crescente em , decrescente em
; pontos críticos
(mínimos),
(máx); concava para baixo em
, para cima em
; inflexões em
.
(f) crescente em , decrescente em
; ponto crítico
(mín); concava para baixo em
, para cima em
; inflexão em
.
(g) crescente em , decrescente em
; ponto crítico
(máx); concava para baixo em
, para cima em
; inflexão em
.
(h) crescente em , decrescente em
; pontos críticos
(máx),
(mín); concava para baixo em
, para cima em
; sem inflexões no domínio.
(b) crescente em
(c) crescente em
(d) crescente em
(e) crescente em
(f) crescente em
(g) crescente em
(h) crescente em