Classifique a sequência em crecente ou descrescente, determine se a mesma é limitada, calcule seu limite da sequência ou mostre que ela é divergente.
e) {1, 5/3, 25/9, 125/27, 625/81, ...}

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada na sequência: {1, 5/3, 25/9, 125/27, 625/81, ...}. Nosso objetivo aqui é descobrir se essa sequência está crescendo ou diminuindo, se ela tem um limite (ou seja, se ela é limitada) e qual é esse limite. Para isso, vamos usar conceitos de análise de sequências, como termos gerais e limites.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a regra da sequência. Observando os termos, percebemos que cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por 5/3. Ou seja, a sequência é geométrica com razão . O termo geral dessa sequência pode ser escrito como:
Isso significa que cada termo é maior que o anterior, já que . Portanto, a sequência é crescente.

Passo 3

Agora, vamos verificar se a sequência é limitada, ou seja, se existe um número que ela não ultrapassa. Como a razão , a sequência geométrica está aumentando sem parar. Quando a razão de uma sequência geométrica é maior que 1, a sequência não tem um limite superior e, portanto, é não limitada.

Passo 4

Por último, vamos calcular o limite da sequência. Sabemos que para uma sequência geométrica com razão r, se , então a sequência diverge, ou seja, não possui um limite finito. No nosso caso, como , a sequência não converge para nenhum número específico e, portanto, diverge.

Resposta

A sequência é crescente, não é limitada e diverge, ou seja, não possui um limite finito.

Exercícios relacionados