Classifique a sequência em crecente ou descrescente, determine se a mesma é limitada, calcule seu limite da sequência ou mostre que ela é divergente.
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Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada na sequência:
. Nosso objetivo aqui é descobrir se essa sequência está crescendo ou diminuindo, se ela tem um limite (ou seja, se ela é limitada) e qual é esse limite. Para isso, vamos usar conceitos de análise de sequências, como termos gerais e limites.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a regra da sequência. Observando os termos, percebemos que cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por
. Ou seja, a sequência é geométrica com razão
. O termo geral dessa sequência pode ser escrito como:
Isso significa que cada termo é maior que o anterior, já que
. Portanto, a sequência é crescente.
Passo 3
Agora, vamos verificar se a sequência é limitada, ou seja, se existe um número que ela não ultrapassa. Como a razão
, a sequência geométrica está aumentando sem parar. Quando a razão de uma sequência geométrica é maior que 1, a sequência não tem um limite superior e, portanto, é não limitada.
Passo 4
Por último, vamos calcular o limite da sequência. Sabemos que para uma sequência geométrica com razão
, se
, então a sequência diverge, ou seja, não possui um limite finito. No nosso caso, como
, a sequência não converge para nenhum número específico e, portanto, diverge.
Resposta
A sequência é crescente, não é limitada e diverge, ou seja, não possui um limite finito.